線型代数 部分空間 次元 基底

質問

線型代数の問題です。
全然手がつけられないので助けてほしいです(^^;)

次のV=Mn,n(R)の部分空間の次元と基底を求めよ。
(1)W1=｛A=(ａij)∈V｜i>jのときａij=0｝(上半三角行列の全体)
(2)W2=｛A∈V｜tA=A｝
(対称行列の全体)
(3)W3=｛A∈V｜tA=-A｝(交代行列の全体)
(4)W1∩W2,W1+W2
(5)W2∩W3,W2+W3

答えは
(1){Eij|i<j}が基底　dimW1=1/2(n^2+n)
(2){Eij+Eji|i≦j}が基底　dimW2=1/2(n^2+n)
(3){Eij-Eji|i<j}が基底　dimW3=1/2(n^2-n)
(4)(5)は書いてないので分からなかったです...

お願いします!!

回答No.4

alice_44

←A No.2 補足

例えば、n=2 のとき、上三角行列 M は
M =
　　　a　　　b
　　　0　　　c

これを a,b,c を係数に持つ線型結合で書けば、
M = a A + b B + c C.

ただし
A =
　　　1　　　0
　　　0　　　0

B =
　　　0　　　1
　　　0　　　0

C =
　　　0　　　0
　　　0　　　1

A,B,C 等にもう少し組織的な名前付けをすれば、
一般の n についても書き下すことができるはず。
やってみてください。

回答No.3

alice_44

大雑把流で、具体的に基底らしきものを得たら、
後は、基底の定義にしたがって、形式的に
それが基底であることを示せばよいです。
部分空間を生成し、かつ、一次独立なことをです。
一組の基底が得られてしまえば、
基底ベクトルの個数が、次元です。
最初に大雑把流で考えたことは、
答案上は、ナイショ。

回答No.2

alice_44

ちゃんとした細部はともかく、大雑把な話、
自由に決められる係数が何個あるか…が、次元。
例えば、上三角行列なら、
上三角成分は好きに決めることができて、
その他の成分は 0 と決められている。
n 次であれば、上三角成分は n(n+1)/2 個。
それらを n(n+1)/2 個の変数で置いて
表した上三角行列を、その変数を係数とする
一次結合に展開して書けば、自ずと基底が現れる。

お礼

次元の話は理解できました。
ありがとうございます(TT)

>n 次であれば、上三角成分は n(n+1)/2 個。
>それらを n(n+1)/2 個の変数で置いて
>表した上三角行列を、その変数を係数とする
>一次結合に展開して書けば、自ずと基底が現れる。

これについては実際どのように示せばいいか分かりません...。