この写像がユニタリである事の証明は?

質問

[Q] Let V be a finite dimensional space over R, with a positive definite scalar product,and let {v_1,v_2,…,v_n}=B and {w_1,w_2,…,w_n}=B' be orthnormaml bases of V.
Show that the matrix M_B_B'(id) is real unitary.[Hint:Use <w_i,w_j>=1 and <w_i,w_j>=0 if i≠j,as well as the expression w_i=Σ[i=1..n]a_ij_vj,for some a_ij≠R.]
(b) Let F:V→V be such that F(v_i)=w_i for all i. Show that M_B_B'(F) is unitary.

の(b)について問題についてです。M_B_B'(f)は基底Bと基底B'に関してのfの表現行列を意味してます。

(b)についての質問なのですが
<F(v),F(v)>=<v,v>を示さなければならないようなのです。
<F(v),F(V)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)>
=Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵Fは線形写像?)
=<w_i,w_j> の形になると思います。

これからどうすれば =<v,v>に持っていけますでしょうか?

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

むぅ. なんてやつだ. 「行列がユニタリであることを示せ」なんだから, 普通の人はそれで OK にする. というか, 万一自分がそんな問題を出していたとしたら, 自分の馬鹿さ加減に頭を抱てて自分自身を呪いつつ正解にしてる.
ぐうの音も出ないように
Now we have shown that tM~_B_B'(F) M_B_B'(F)=I, which implies that M_B_B'(F) is unitary according to the definition of unitary matrix.
とでも念を押しておけばよかったのかな?
さておいて, 式変形を見てみます.
<F(v),F(V)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]a_iFv_i,Σ[i=1..n]a_iFv_i> (∵Fは線形写像?)
=Σ[i=1..n]a_i<Fv_i,Σ[j=1..n]a_jFv_j> (∵内積の定義)
=Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵内積の定義)
=<w_i,w_j> (∵題意)
・最初の式は <F(v),F(V)> ではなく <F(v),F(v)> でしょうか? 2つ目の v に注目.
・最初の F の線形性を使うところでは F(v_i) のようにかっこをつけてやってください.
・3番目の等号でなぜか v_i, v_j が内積の外にも飛び出しています.
・最後の等号のところで和が消滅しちゃってます.
特に最後が致命的かな. ここで和が消滅しちゃってるので, その後の話が続かなくなっている模様. その前の式の和を残さないとだめです.
で, 「B と B' がどちらも正規直交基底である」, つまり <v_i, v_j> = <w_i, w_j> = δij を使って <v, v> と比較すれば終了.

お礼

ありがとうございました。
お蔭様で上手くいきました。

回答No.1

Tacosan

その式の変形が他人に通じると思いますか? ざっと見ただけでも
・v について大文字と小文字が混在している
・突然 a_i が導入されている
・1行目から 2行目への変形のときに a_i だけでなく v_i も内積の外に出ている
・最後がまったく理由もなく <w_i,w_j> に変わっている
・しかも, 和の添え字で本来消えなければならない i, j が残っている
など, 問題点がたくさんあります.
さらにいうと, この問題は本来「M_B_B'(F) がユニタリであることを示せ」というものです. これにたいしていま示そうとしているのは「<F(v), F(v)> = <v, v>」ですから, この 2つの関係は一言触れておく必要があります. 特に, 「同じベクトルに対して内積が保存されればいい」ということについては何か言及が必要でしょう.
と書いておくけど, これってそんなに面倒な証明がいるの? M_B_B'(F) を実際に与えれば終わりでしょ?

お礼

どうもすいません。

> その式の変形が他人に通じると思いますか? ざっと見ただけでも
> ・v について大文字と小文字が混在している
> ・突然 a_i が導入されている
> ・1行目から 2行目への変形のときに a_i だけでなく v_i も内積の外に出ている
> ・最後がまったく理由もなく <w_i,w_j> に変わっている
> ・しかも, 和の添え字で本来消えなければならない i, j が残っている
> など, 問題点がたくさんあります.

すいません。訂正いたします。

任意のv∈Vをv=Σ[i=1..n]a_iv_i (a_i∈R)と表す事にすると
<F(v),F(V)>=<F(Σ[i=1..n]a_iv_i),F(Σ[i=1..n]a_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]a_iFv_i,Σ[i=1..n]a_iFv_i> (∵Fは線形写像?)
=Σ[i=1..n]a_i<Fv_i,Σ[j=1..n]a_jFv_j> (∵内積の定義)
=Σ[i=1..n]a_iv_iΣ[j=1..n]a_jv_j<F(v_i),F(v_j)> (∵内積の定義)
=<w_i,w_j> (∵題意)

の形になると思います。

これからどうすれば =<v,v>に持っていけますでしょうか?

> さらにいうと, この問題は本来「M_B_B'(F) がユニタリであることを示せ」というものです.
> これにたいしていま示そうとしているのは「<F(v), F(v)> = <v, v>」ですから,
> この 2つの関係は一言触れておく必要があります.
> 特に, 「同じベクトルに対して内積が保存されればいい」ということについては何か言及が必要でしょう.
> と書いておくけど, これってそんなに面倒な証明がいるの? M_B_B'(F) を実際に与えれば終わりでしょ?

当初,tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=I(ただし~は共役の意味,tは転置の意味,Iは単位行列の意味です)を示せばいいのかと思ったのですが。
F(v_1)=1・w_1+0・w_2+…+0・w_n
F(v_2)=0・w_1+1・w_2+…+0・w_n
:
F(v_n)=0・w_1+0・w_2+…+1・w_n
なのでM_B_B'(F)=
(1,0,0,…,0)
(0,1,0,…,0)
:
(0,0,0,…,1)
と求まると思います。この行列は単位行列なので後は明らかに
tM~_B_B'(F)M_B_B'(F)=Iが成り立ちますが

これはペケになってまして,「M_B_B'(F) がユニタリであることを示せ」
は<Fv,Fv>=<v,v>を示せという意味なのだそうです。

それでどうすれば上記の =<w_i,w_j> から =<v,v>に持っていけず困っているのです。

どうかご教示ください。m(_ _)m