Vをn次元内積空間とする。線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0

質問

内積空間についての命題の証明についてです。

[命題]Vをn次元内積空間とする。
線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
を示しています。

fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース

Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると
x=Σ[i=1..n]c_iv_i
y=Σ[i=1..n]d_iv_i
(c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n))
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i
と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)

<f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像)

<x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像)

で仮定より

<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=
<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>

と書ける。。。

からどのようにして証明してけばいいのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

線型写像が「positive」というのは不要？
というか・・・線型写像が``positive''ってことが
<f(x),x>≧0(∀x∈V)
ってことではないのですか？
これなら「＋」という意味が分かります

<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
だとなんで「positive」って名前なの？と疑問です．
＃むしろ「transitive」（推移的）と名づけたいな

正規直交基底e1,...enをとれば
f(ei)の第i成分は表現行列{aij}の(i,i)要素aiiで
aii = (f(ei),ei) >= 0
だからトレースも0以上

お礼

> 線型写像が「positive」というのは不要？
> というか・・・線型写像が``positive''ってことが
> <f(x),x>≧0(∀x∈V)
> ってことではないのですか？

positiveの定義を間違っておりました。

線形写像f:V→V(VはC上の有限次元内積空間)がpositiveであるの定義は
<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
且つ
<f(x),x>≧0(∀x∈V)

でした。でもkabaokaba様のお話しだと自己随伴"<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)"
の部分は不要そうですね。

> 正規直交基底e1,...enをとれば
> f(ei)の第i成分は表現行列{aij}の(i,i)要素aiiで
> aii = (f(ei),ei) >= 0
> だからトレースも0以上

これで上手く示せました。どうも有り難うございました。

補足

positiveの定義を間違っておりました。

fがpositiveであるの定義は
<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
且つ
<f(x),x>≧0(∀x∈V)

でした。これで題意が明確になりますでしょうか?

回答No.2

tinantum

解決されたようですが、一言補足：

> でもkabaokaba様のお話しだと自己随伴"<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)"の部分は不要そうですね。

実は「positive の定義：<f(x),x>≧0(∀x∈V)」
から、自己随伴性は自動的に導かれます。
よろしかったらチャレンジしてみてください。

お礼

ご解説誠に有難うございます。
チャレンジしてみたいと思います。