シルベスターの定理を予期させるようなR^3の基底を求めよ

質問

Slyvester'sの定理
「Let V be a finite dimensional vecor space over R,with a scalar
product. There exists an interger r≧0 having the following property. If
{v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis of V, then there are precisely r
integers i such that <v_i,v_i>>0」

[Q] Let A be the real matrix
1,3,5
3,0,-2
5,-2,-3

(1) Determine the bilinear form associated to A(as a polynomial).
(2) Find the basis of R^3 predicted by Sylvester's theorem.
(3) What is the nullity of this bilinear form on R^3?

と言う問題です。

nullityの定義は
「Vを有限次元線形空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交基底とする時,
V_0:={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>=0}(但し,<,>はスカラー積)をVのnullityという」だと思います。

スカラー積の定義は
「<,>:V×V→Fに対して
(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>, (iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ
<u,cv>=c<u,v> が成り立つ時,<,>をスカラー積と呼ぶ」
です。

(1)については (tは転置行列を表す)
(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)
=x_1x_2+3x_2y_1+5x_2z_1+3x_1y_2-2y_2z_1+5x_1z_2-2y_1z_2-z_1z_2…(1).
と展開すればいいだけのことだと思います。

(2)については意味が分かりません。
Sylvesterの定理を予期するR^3の基底を見つけよ。
一体,何をすればいいでしょうか?

(3)については
まず(1)を満たすような(つまり(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)=0を満たすような)
R^3の直交基底を見つけなければならないと思いますがどうやって見つければいいのでしょうか?

回答No.4

Tacosan

別件で Sylvester の慣性法則を検索したら引っかかった上にまだ閉じてなかった....
Sylvester の慣性法則を使うと, 任意の対称行列に対し
tPAP = diag(Ip, -Iq, O)
(Ip は p次単位行列) を満たす正則行列 P が存在します. この P の各列ベクトルがそのまま v_i としてとれて, rank A = p+q, nullity A = n - (p+q) = n - rank A となります.

回答No.3

mtaka_2007

ANo.2です。同じような質問が以前にあったようです。参考URLをご覧下さい。平方完成の手順を使うようです。
しかし、このような方法を習得しても発展性がないような気がしますが。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2280430.html

お礼

ありがとうございます。

> (3)Aのrankは3ですので、nullity=0と思います。

これは何の定理を使われたのでしょうか?

回答No.2

mtaka_2007

この本のタイトルは何ですか。例題があると思いますが。
(1)[x,y,z]At^[x,y,z]=x^2+6xy+10xz-4yz-3z^2。普通2次形式では、左右から同じベクトルを掛けると思います。

(2)普通の方法で、Aを対角行列にするorthogonal basisを見つければいいと思います。しかし、この問題では、固有値が簡単に見つからないようです。小生の計算が間違っている？

(3)Aのrankは3ですので、nullity=0と思います。

お礼

ありがとうございます。
これは配布されたプリントなのです。

> この本のタイトルは何ですか。例題があると思いますが。

例題は特にありません。
あとは
(v_1,v_2)=0,(v_2,v_1)≠0
という条件らしきもの(無関係?)が記載されてるだけです。

> (1)[x,y,z]At^[x,y,z]=x^2+6xy+10xz-4yz-3z^2。普通2次形式では、左右から同じベクトルを掛けると思います。

quadratic form(2次形式)ではなくbilinear formなので
(tは転置行列を表す)
(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)
=x_1x_2+3x_2y_1+5x_2z_1+3x_1y_2-2y_2z_1+5x_1z_2-2y_1z_2-z_1z_2…(1).
と展開すればいいと解釈したのですが間違ってますでしょうか?

> (2)普通の方法で、Aを対角行列にするorthogonal basisを見つければいいと思います。
> しかし、この問題では、固有値が簡単に見つからないようです。小生の計算が間違っている？

確かに-λ^3-2λ^2+41λ-37=0を解かねばなりませんね。これはそう簡単に解けませんね。

> (3)Aのrankは3ですので、nullity=0と思います。

これは何の定理を使われたのでしょうか?

類題もありまして

[Q] Let A be the real matrix
1,3,5
2,0,1
5,-3,-2

(1) Determine the bilinear form associated to A(as a polynomial).
(2) Find the basis of R^3 predicted by Sylvester's theorem.
(3) What is the nullity of this bilinear form on R^3?

これだと(1)は
(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+2x_2y_1+5x_2z_1+3x_1y_2-3y_2z_1+5x_1z_2+y_1z_2-2z_1z_2
で
detA=-λ^3-λ^2+30λでdetA=0の解はλ=0,5,-6となります。
それで対角化変換行列Pは
1,-9,2
3,1,1
-2,12,1
となり
P^-1AP=
0,0,0
0,-6,0
0,0,5
となります。でこのPの列ベクトル
{(1,3,-2),(-9,1,12),(2,1,1)}をGram-Schmdit直交化して
{(1,3,-2),(-48/7,52/7,54/7),(1045/566,165/566,385/283)}が直交基底となります。
これが(2)の答えなのでしょうか?
どこら辺が"predicted by Sylvester's theorem"なのでしょうか?

回答No.1

Tacosan

(2) は「その訳」が間違っています. もう一度英文を読んでください.

お礼

> Sylvesterの定理を予期するR^3の基底を見つけよ。

「Sylvesterの定理で予期されるR^3の基底を見つけよ。」
ですかね。

どうすればいいのでしょうか?