ベクトルの問題なのですが、教えてください！

質問

2点Ａ（４．０）、Ｂ（０，２）と円ｘ＾２＋ｙ＾２＝２５上の点Ｐ（ｘ、ｙ）に対し、ｋ＝ＡＰ・ＢＰとおく。
ｋが最大、最小となるときのＰの値をそれぞれＣ，Ｄとする。
（１）ｋの最大値および最小値を求めよ。
（２）線分ＣＤの長さを求めよ。
（３）四角形ＡＣＢＤの面積Ｓを求めよ。

書いていることをそのまま考えて書けばいいのですが、
どうやって考えていいのか、分かりません。
教えてください！よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
P(x,y)は円周上の点であるから
x^2+y^2=25 ...(A)
k=AP・BP=(x-4,y)・(x,y-2)=(x-4)x+y(y-2)
=x^2+y^2-4x-2y
=25-4x-2y
∴ 4x+2y+k-25=0 ...(B)

図的に解くなら
円(A)に直線(B)が交わるようなkの範囲を求めればよい。
具体的には直線(B)と円(A)の中心(0,0)との距離が円(A)の半径5以下であれば良い。
　d=|4*0+2*0+k-25|/√(4^2+2^2)≦5
この不等式を解けば、kの範囲が求められるでしょう。
|k-25|≦10√5
25-10√5≦k≦25+10√5　...(C)
等号が成り立つ時の
kの下限からkの最小値が求まり
kの上限からkの最大値が求まります。

別解として(B)からy=…を求め(A)に代入して得られるxの２次方程式にxの実数解が存在する条件、すなわち判別式D≧0から
kの不等式が得られます。これを解けば(C)のkの範囲が求まり、kの最小値、最大値が得られます。

(2)
kの最大値を(B)に代入して連立方程式(A),(B)を解けばCの座標(xc,yc)=(-2√5,-√5)が得られます。

またkの最小値を(B)に代入して連立方程式(A),(B)を解けばDの座標(xd,yd)=(2√5,√5)が得られます。
C,Dが求まったところで四角形ABCDと
線分CDの長さLは
L=√{(xc-xd)^2+(yc-yd)^2}=10
と得られます。

やってみて下さい。

(3)
四角形ACBDを４個の三角形
△AOD、△BOD、△AEC、△BOE（Eは辺BCとX軸の交点)
に分割して
それぞれの面積を出し、それらを加えれば面積Sが求められます。

やってみて下さい。

別解：直線CD:x-2y=0
AからCDに下ろした垂線の長さha=4/√5
BからCDに下ろした垂線の長さhb=4/√5
面積S=L*(ha+hb)/2=4*10/√5=…
ここでLは(2)で求めた線分CDの長さです。

回答No.1

Tacosan

ＡＰ・ＢＰ は計算できるよね?