円の接線と2直線との交点の線分最小距離

質問

[問] 円C: x^2+y^2=1と2直線y=±mx(0<m<1)とのx>0での交点をそれぞれA、Bとする。Pを劣弧AB上の動点とする。
PにおけるCの接線とy=±mとの交点をそれぞれQ,Rとする時、QRの最小値を求めよ。

がいまいちわかりません。
Q,Rを文字で表すと複雑になってしまいます。
何かよい方法がありますでしょうか?

回答No.2

postro · ベストアンサー

P(cosθ,sinθ)とおけば、PにおけるCの接線の方程式は (sinθ)y+(cosθ)x=1
ただし、-π/4＜θ＜π/4
これと直線y=±mx(0<m<1)とのx>0での交点は、それぞれ
Q{1/(cosθ+msinθ),m/(cosθ+msinθ)}
R{1/(cosθ-msinθ),-m/(cosθ-msinθ)}
見にくいからcosθ=c ,sinθ=s と書く
(QR)^2={1/(c+ms)-1/(c-ms)}^2+{m/(c+ms)+m/(c-ms)}^2
=4m^2/{c^2-m^2s^2}^2=4m^2/(1-s^2-m^2s^2)^2=4m^2/{(m^2+1)s^2-1)}^2
ここで、ＱＲが最小になるためには、この分母が最大になればよい
つまり(m^2+1)s^2-1 の絶対値が最大になればよい。
0<m<1　と　-1/√2＜sinθ＜1/√2 に注意すると
(m^2+1)s^2-1 の絶対値は　sinθ=0 すなわち　θ=0 のとき最大１となる。
このとき(QR)^2=4m^2　　，ＱＲ＝２ｍ

お礼

大変有難うございます。

お陰さまで理解できました。

解くにはかなり複雑なのですね。

回答No.1

mikisuke_0226

・・・(￣ ￣;) うーん

回答というには苦しいのですがｗ
直感的にＱＲがy軸に平行のとき最小値になりそうなので
答えは2mのような気がします^^；

間違ってたらごめんなさい<(＿ ＿)>

お礼

コメント有難うございました。