円と直線です

質問

直線Y=X+K と 円X^2+Y^2=2が異なる2点Ｑ、Ｒで交わるとき、弦Ｑ、Ｒの中点をＰとして、

①定数Kの値の範囲を求めよ
②点Ｐの座標を(X、Y)とし、XとYをKを使って表せ
③Kの値が①で求めた範囲で変化するとき、点Ｐの軌跡を図示せよ

という問題で、
①で実数解の個数を調べたのですが
途中でわからなくなり
それ以降できなくなってしまいました。
よろしくお願い致します。

回答No.2

info22

ヒントとヒントの補足
(1)
#1さんのやり方でいいですが、
直線と円が異なる2点Q,Rで交わることから
x^2+(x+k)^2=2
2x^2+2kx+(k^2)-2=0
判別式D>0より
解は
-2<K<2
となるでしょう。

(2)
X^2+Y^2=2
と
Y=X+K
の2交点Q,Rは
連立方程式を解けば求まる。
その中点から
中点P(X,Y)の座標は
X=0,Y=K/2
となります。

(3)
y=-x(-1<x<1)

回答No.1

owata-www

とりあえず(1)だけ解いて後はヒントだけお出しします。

(1)図形的にやるのが一番わかりやすいです。Kはy切片になります。それが原点を中心とした半径√2の円とどう重なるか考えてください。

それが思いつかなければ、お求めのように実数解の個数を考えます。（ただ後々のことを考えるとこちらのほうがいいですね）
X^2+Y^2=2にY=X+Kを代入して
X^2+Y^2=X^2+(X+K)^2=2X^2+2KX+K^2=2
整理して、2X^2+2KX+(K^2-2)=0
で
判別式D/4=K^2-2(K^2-2)=-K^2+4であり、
D/4<0→-K^2+4<0つまり、K<-2or2<Kの時、交点は０
D/4=0→-K^2+4=0つまり、K=±2の時、交点は１（接する）
0<D/4→0<-K^2+4つまり、-2<K<2の時、交点は２
よって、-2≦K≦2が解となります。

(2)点Ｑと点Ｒのx座標は(1)のxの解です。中点Ｐのx座標Ｘはその２つのxの平均となります。

(3)(2)のＸ、Ｙからxとyの関係式が導けるので、xの範囲に注意しながら解くだけです