円を切り取った線分の長さ

質問

kを定数として直線m:(3-4k)x+(5k-4)y+k+3=0について、mはkがどのような値を取っても定点を通る 定点を求めよ
またmが円(x+2)^2+(y-1)^2=3によって切り取られる線分の長さが最大となるときのkの値を求めよ

解き方を教えてください

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(3-4k)x+(5k-4)y+k+3=0・・・※
kについて整理します。

(-4x+5y+1)k+3x-4y+3=0
kがどのような値をとっても等式が成り立つためには、
-4x+5y+1=0かつ3x-4y+3=0

連立方程式を解くと、
(x,y)=(19,15)・・・答え

直線mは定点(19,15)を通る。この点は与えられた円の外側の点である。
円の方程式より中心(-2,1)であることから、
直線mが与えられた円によって切り取られる長さが最大になるのは、円の中心(2,-1)を通るときであるから、
※にx=2,y=-1を代入し、kを求めると、
k=1/2・・・答え

お礼

説明が十分でよく分かりました
ありがとうございました

回答No.3

asuncion

＞その円の直径である場合を調べればよいと思います。

要するに、#1さんの考え方のとおりということであります。
当該の円の中心を通る直線は、その円の直径となりますので、
切り取る線分の長さが最長になる、ということですね。

お礼

了解しました

回答No.2

asuncion

(3－4k)x + (5k－4)y + k + 3 = 0 を、kについて整理する。
(－4x + 5y + 1)k + 3x － 4y + 3 = 0 …… (1)
(1)が任意のkについて成立するには、下記(2)(3)がともに成立しなければならない。
－4x + 5y + 1 = 0 …… (2)
3x － 4y + 3 = 0 …… (3)

(2)×4+(3)×5より、
－x + 19 = 0
x = 19
(2)または(3)に代入して、y = 15
∴直線mは、kの値にかかわらず、点(19, 15)を通る。

後半は、中心(－2, 1)で半径√3の円を書いて、点(19, 15)を通る直線が
その円の直径である場合を調べればよいと思います。

お礼

計算も丁寧で助かります
ありがとうございました