質点系について

質問

F=Σ(i)Fi＝０のとき、外力が０であるから、運動量は保存される、また外力がないから質点系の重心の位置は不変、
という考えはあっていますか？
よければアドバイスください。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＞運動量保存の考え方はあっていますでしょうか??

この質問も「？」です。
どうしてもあなたがどういう理解をしているのかが推測しにくいのです。今までのことが分かっているのならこれも分かっているはずだと思うのです。これが分からないのであれば今まで書いておられることのどこかに穴があるということになります。
何が分かっていて何が分からないのかの見極めが難しいです。
一般論は教科書に書いてあると思いますから２体でやります。全部書きます。

質量をｍ１、ｍ２、加速度をａ１，ａ２、外力をＦ１、Ｆ２、１２の間に働く力をｆ１２、ｆ２１とします。
運動方程式は
ｍ１ａ１＝Ｆ１＋ｆ１２
ｍ２ａ２＝Ｆ２＋ｆ２１
です。
ｍ１ａ１+ｍ２ａ２＝Ｆ１＋Ｆ２＋ｆ１２＋ｆ２１
作用・反作用の法則からｆ１２＋ｆ２１＝０ですので
ｍ１ａ１＋ｍ２ａ２＝Ｆ１＋Ｆ２
ここで外力が働いていない場合は右辺＝０です。
ｍ１ａ１＋ｍ２ａ２＝（ｍ１＋ｍ２）Ａとおくと
Ａ＝０　
になります。
このＡは重心の加速度になっていますので重心は等速度運動をします。

Ａが重心の加速度がということを求めてみます。

ｍ１、ｍ２の位置をｒ１、ｒ２、速度をｖ１、ｖ２とします。
重心の位置Ｒは
Ｒ＝(ｍ１ｒ１＋ｍ２ｒ２)/(ｍ１＋ｍ２)
です。これを微分すると重心の速度がわかります。
Ｖ＝ｄＲ/ｄｔ
　＝(ｍ１ｄｒ１/ｄｔ＋ｍ２ｄｒ２/ｄｔ)/(ｍ１＋ｍ２)
　＝(ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２)/(ｍ１＋ｍ２)
重心の加速度は
Ａ＝ｄＶ/ｄｔ
です。この結果は上に出てきた式と一致します。

Ａ＝０ですから
Ｖ＝一定です。したがって
ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２＝一定
になります。これは運動量の和は変化しないという内容です。
ａ１，ａ２はゼロとは限りませんから
ｖ１≠一定、ｖ２≠一定です。
でもＶは一定です。

重心速度の保存ということと運動量の和が保存するということとは同じ内容です。

お礼

丁寧にありがとうございました。
このようにちゃんと書けば解くことができるのですね。
これからはこのことを頭において問題を解くようにしたいと思います。
何度もありがとうございました。

回答No.4

htms42

ちょっとはしょった書き方をしてしまって申し訳ありません。
外力がない場合での話です。
＞外力がない→加速度なし→静止or等速運動（ニュートンの法則より）
だけであれば質点系としての議論にはならないだろうと思ったからです。あなたの頭の中にあるという
「重心で考えると内力が消えてしまうので外力がなければ重心の運動は等速度運動になる」
という部分をはしょらずに説明する必要があるだろうというつもりで書きました。
わかっておられることについてしつこく書いたのがよくなかったみたいですね。

補足

ご丁寧にありがとうございます☆
理解できました！！本当にありがとうございます。
最後にもうひとつだけよろしいでしょうか？＞＜
運動量保存の考え方はあっていますでしょうか??
お願いします。

回答No.3

htms42

＞あと、これを示せといわれたのですが、数式少しいれて言葉で説明をすれば良いですよね？？

これを示せのこれとはどれでしょう。

＞外力がない→加速度なし→静止or等速運動（ニュートンの法則より）をしているということで大丈夫でしょうか？

このことでしょうか。これは第一法則そのままです。
質点系の場合、全体には外力が働いていなくても個々の質点には力が働いていてもかまいません。質点間に働く力で内力といいます。質点系の力学の練習ですからこの力は想定しているはずです。
重心で考えると内力は全部消えてしまうので「重心の運動は変わらない」ということになります。
この部分を示す必要があると思います。、

補足

再びありがとうございます。
質点系において、内力が運動の第３法則により消えてしまうことはわかりました。私の解釈から、
内力がないから質点系における力は外力のみと考えられる。つまり外力に依存。この問題の場合、外力＝０→全運動量Ｐは質点系に外部から仕事が働かない限り一定に保たれる（力が働いていないってこと？）→運動量保存。（力が働いていなければ保存されるのは当たり前？）
また、重心に対する運動方程式は今、Σ(i)Fi＝０であるため、０という値を得る。
今の私の頭の中はこうなっています。。。
回答者様の、内力が全部消えてるから重心の運動は変わらないというところが納得いきません。内力が消えるのはわかるけど、なぜそうすると重心の運動は変わらないのか・・・外力があるならば、重心の運動は変わる気がします。
物理初心者のもので、、何度も申し訳ないです。
よろしくお願いします。

回答No.2

htms42

＞また外力がないから質点系の重心の位置は不変、

「重心の『位置』は不変」というのは「動かない」ということになります。
それだと間違っています。
等速度で運動していてもかまいません。
「重心の『運動』は不変」であれば正しいでしょう。

2つの物体の衝突の問題では運動量保存を考えます。これは重心の運動が変わらないという内容と同じです。

補足

ご指摘、ありがとうございます。
私の書き方がおかしかったようで、本にはちゃんと等速度or動かないとかいてありました。
ということは、結局、外力がない→加速度なし→静止or等速運動（ニュートンの法則より）をしているということで大丈夫でしょうか？
あと、これを示せといわれたのですが、数式少しいれて言葉で説明をすれば良いですよね？？変な質問をしてしまってすみません。
示すとはどういうことなのかちょっとわからなくて、、

回答No.1

rabbit_cat

＞重心の位置は不変、
Ｙｅｓ