バネでつながれた２つの質点

質問

重さのないバネでつながれた２つの質点ｍ1，ｍ２が摩擦のない直線上にあります。
長さＬ、バネ定数ｋのバネで２つの質点をつないぎ、Ｘだけ引き延ばし、離したとき、
（１）質点の重心の運動
（２）周期Ｔ
を求めよ、という問題です。

（１）
重心の位置を求め、左右に張る張力が同じと考えて、左右の質点の運動方程式を立てれば良いのでしょうか？

（２）
周期は片方を固定端にして、２つの質点を合わせたものと同じと考えたらいいのでしょうか？

回答No.1

connykelly · ベストアンサー

質点m1,m2の質量をそれぞれm1、m2とし、原点からの距離をそれぞれx1,x2とします。各質点の運動方程式はx1<x2としてm1(d^2x1/dt^2)=k(x2-x1-L)、m2(d^2x2/dt^2)=-k(x2-x1-L)。両式を足すとd^2(m1x1+m2x2)/dt^2=0が得られます。系の重心座標をXgとするとXg=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)=(m1x1+m2x2)/M。これからd^2Xg/dt^2=0。これがこの系の重心の運動方程式です。
また、d^2x1/dt^2=k(x2-x1-L)/m1、d^2x2/dt^2=-k(x2-x1-L)/m2であるからこれらの式を引くとd^2(x2-x1)/dt^2=d^2x/dt^2=-k(x-L)*(m1+m2)/m1m2=-k(x-L)/μ。整理するとμ*d^2x/dt^2=-k(x-L)でいわゆる単振動の運動方程式です。μ=m1m2/Mは換算質量と呼ばれますが、換算質量を使えば2質点系の運動方程式は1質点の運動方程式に還元できるということがポイントです。周期Tはご自分でフォローしてください。

お礼

微分方程式を扱い方を知らなくて、途中まではあっていましたが、その後の式を変形していくところで、その手順で解決していくのか、と初めて知りました。
ありがとうございます。