質点系の力学の問題につまづいて困ってます。

質問

「３個の質量の等しい玉ＡＢＣが、滑らかな水平面上に、この順番で一直線に
並び、それぞれＡＢ間、ＢＣ間を長さの等しい糸でつないでおく。
このとき質点Ｂを直線と直角の方向にＶの速さで動かすとすればＡとＣとが
衝突するときの相対速度はどうなるか？」
といった問題なのですが、ヒントでは、「動き始めの状態と、Ａ，Ｃが衝突する
直前の状態について、運動量保存則、力学的エネルギー保存則を立てる」と
書いてあるのですが、どう立ててよいかさっぱり分かりません。どうか、アドバイスいただけないでしょうか？因みに答えは、[２／√(３)]・Ｖ です。
　よろしくお願いいたします。

回答No.1

hero1000 · ベストアンサー

Bを最初に動かした方向にy軸、A→Bの方向にx軸を設定したとします。
そしてそれぞれの玉の質量をmとします。

まずAとCが衝突する直前に、y軸方向に動いている速度をV'とし、x軸方向に
動いている速度をVxとします。
y軸方向だけを考えると、ヒモでつながっているのでABC全てV'で動いています。
x軸方向はAとCの対称性から無視して運動量保存則を考えると、
　mV = mV'+mV'+mV' = 3mV'
　よって、V' = V/3　・・・(1)

衝突直前にABCそれぞれが持っている運動エネルギーは、
　A：mV'^2/2 + mVx^2/2
　B：mV'^2/2
　C：mV'^2/2 + mVx^2/2
力学的エネルギー保存則より、最初にBが持っていた運動エネルギーと、
これらの合計の運動エネルギーが等しいので
　mV^2/2 = 3mV'^2/2 + 2mVx^2/2
　　V^2 = 3V'^2 + 2Vx^2
(1)を代入して、
　　V^2 = 3(V^2/9) + 2Vx^2
両辺を３倍して、
　　3V^2 = V^2 + 6Vx^2
　　2V^2 = 6Vx^2
よって
　　　Vx = V/√(3)

これがAまたはCの速度になります。

問題では「AとCの相対速度」となっていますので、この速度を2倍して

　　2V / √(3)

となります。

お礼

なるほど！「動き始めと衝突直前について、運動量保存則の式をたてる」
とは、
　　　mV = mV'+mV'+mV' = 3mV'

というわけだったのですねー。
なるほど、衝突直前にA、B、Cのy方向の速度が等しくなるとは・・・。
そこに気が付きませんでした。

丁寧な回答どうもありがとうございました。
十分理解させていただきました。