剛体の振り子 先端に質点があることが悩ませます

質問

こんにちは、
かなりこんがらがっており、解答がないため、確認もできずもがいております。
図の通りなのですが、ロッドの片側が振り子の支点でして、もう片側に質点がついております。
これを水平状態から、放して、最下点で質量Mのブロックにぶつけるという過程を想定しています。

問題は
１)このロッド＋質点の慣性モーメントを求めよ
2) 衝突直前の最下点での角速度を求めよ
3) 衝突後のブロックの速さが2m/sだった場合、ブロックにかかった力積 linear impulseはいくらか
4) また、振り子にかかった角力積 angular impulse はいくらか
5) したがって、衝突直後の振り子の角速度はいくらかになるか
6) 衝突の間に、どれだけの力学的エネルギーが失われたか
であります。

1)について初っ端からつまづきました。やってみました。
ロッドの慣性モーメント（ML^2) / 3ですので、それに質点の慣性モーメントがmL^2だと思うので、
トータルで、慣性モーメントIは、　I = （ML^2) / 3　+ mL^2
と考えております。

2) これが、ほぼ分かりません。(1)で求めた慣性モーメントを使うと思われますが、むむむ、
糸口が見つかりません。エネルギー保存則を使うのか、それにしても初期状態（振り子が水平位置）での位置エネルギーはどう表されるのかが、わかりません。端緒に質点がなければ、ロッドの重心からロッドの位置エネルギーをもとめることができますが、端緒に質点があることでどこに重心があるのか、よくわかりません。どうか宜しくお願いします。

そして、これ以降が進みません。すみません。
何とか解法をお教え頂けないでしょうか。 とても困っておりまして、どうかお願いします。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

1)
OKです。

2)
>初期位置でのエネルギー総和が最下点での運動エネルギーに等しいということで
>(MgL)/2 + mgL　= (1/2)(1/3)(ML^2)(V/L)^2 + (1/2)mV^2

結果的に右辺を２項に分けたのでは，全慣性モーメントを求めたかいがありません。
1/2・Iω^2 のままでよいのです。直接ωについて解きましょう。

3) 4)
ＯＫです。

5)
>衝突前の角運動量 - (4)の角力積 = 衝突後の角運動量　であり,

向き付きで記述すれば，
衝突後の角運動量 - 衝突前の角運動量 = 角力積

意識されているとは思いますが，方向に注意してください。

6)
>衝突後の運動エネルギーの総和
>(1/2)N x (2 m/sec)^2 + (1/2)I (ω'）^2 + (1/2)m(ω'L)^2

衝突後の運動エネルギーは，1/2・Iω'^2 でよいのです（ I は全体の慣性モーメント）。

お礼

丁寧に添削頂き、本当にありがとう御座います。大変勉強になります。今後ともどうぞ宜しくお願いします。

回答No.5

yokkun831

>どういったソフトをいつも使って、こういったシミュレーション（？）のようなものを作っているのですか？

Algodooという２次元物理シミュレータです。なかなかおもしろいですよ。

http://www.algodoo.com/wiki/Home/ja
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/1.html
http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/187.html
http://www.youtube.com/my_videos?feature=mhee

お礼

ありがとう御座います。

今後とも色々とご教示頂ければと思います。
宜しくお願い申し上げます。

回答No.4

yokkun831

あいかわらずそそっかしくてごめんなさい。

衝突後の剛体振子の運動エネルギーは，1/2・I ω'^2 でよいということです（I は全体の慣性モーメント）。もちろん，エネルギー収支には，1/2・Nv^2の方も必要ですね。

お礼

ありがとう御座います。ところで、先の添付いただいた図ですが、どういったソフトをいつも使って、こういったシミュレーション（？）のようなものを作っているのですか？

回答No.2

yokkun831

ごめんなさい。訂正です。

2) → 3)
3) → 4)

4)は，角力積＝うでの長さ×力積　ですね。

お礼

yukkun831様、
解いてみたのですが、解答がないため、申し訳ないのですが、みて頂けますと幸いです。

1) トータルの慣性モーメントはやはり
I(total) = （ML^2) / 3　+ mL^2
かと思います。

2)
初期位置でのエネルギー総和が最下点での運動エネルギーに等しいということで
(MgL)/2 + mgL　= (1/2)(1/3)(ML^2)(V/L)^2 + (1/2)mV^2

これをVについて解き、V = Lωから、ωを求めてこれがと解答となると思います。
ただ、右辺の第二項があまりみたことのない形でして確認して頂けるととても安心します。
回転の運動エネルギー =　(1/2) x 慣性モーメント:I x 角速度の二乗、から導出しました。
ロッドの慣性モーメントが(1/3)(ML^2), 角速度はω = (V/L)

3) 衝突前の運動量:ゼロ + 衝突時にブロックに与えられた力積 = 衝突後の運動量 = N x 2m/sec
したがって、答えの「衝突時にブロックに与えられた力積」は2N

4) 作用反作用の法則により、（ロッド＋質点）にも同じ力積が加わったと考え（というのは正しいでしょうか？）、角力積 = 2N x L = 2NL (ただし方向は3と逆）

5) 衝突前の角運動量 - (4)の角力積 = 衝突後の角運動量　であり,
Iω - 2NL = Iω' ただし、 I = (1/3)(ML^2), ωは(2)の過程で求めた角速度
ω'は衝突後の角速度

これをω'について解いて解答となると思います。

6)
初期の位置エネルギー総和
(MgL)/2 + mgL　から　

衝突後の運動エネルギーの総和
(1/2)N x (2 m/sec)^2 + (1/2)I (ω'）^2 + (1/2)m(ω'L)^2

を差し引いたものが、失われたエネルギー

となりました。

いかがでしょうか。数式がごちゃごちゃして見辛く大変申し訳ないのですが、
是非、添削して頂きたく、どうか宜しくお願いします。

追伸： 実はこの解答をアップする際に、ネット接続のエラーか何かで全て消えてしまったのですが、奮起して再入力しました... やはり書きかけの状態で一度どこかに保存しておくのが良いと、改めて感じました。

回答No.1

yokkun831

>端緒に質点があることでどこに重心があるのか、よくわかりません。

全体の重心を求める必要はないでしょう。ロッドの重心位置によりロッドの位置エネルギー，質点の位置により質点の位置エネルギーをそれぞれ求めて加えればよいのです。

2)

ブロックの運動量変化＝ブロックに与えられた力積

の関係を用います。

3)

系の角運動量保存を用います。ここまで解ければ，4) 5) はその結果を用いて得られます。

お礼

いつもありがとう御座います。なるほど・・・解いてみます。
ひとつ更なる疑問があるのですが、お教え頂いた解法では、(1)の求めた全体の慣性モーメントを他の(2) - (5)で使うことがなさそうなのですが、いかがでしょうか。この手の問題は、一つ一つ誘導していくタイプだと考えていたのですが、全体の慣性モーメントを求める、使う意味はありますでしょうか。