｢質点｣

質問

質点は、大きさがないものだと思います。

もしも、次のような問題があったら、どうしますか。

質量Mの質点Aと質量Mの質量Mの質点Bが、はじめ、距離rで静止していた。(rは遠方からみたときのAとBの距離)。
そのあと、AとBは、互いに引力(重力)で引き合って接近しえいく。
AとBが衝突する瞬間のAの速度は、いくらか？

ニュートン力学を前提にエネルギー保存則で解こうとすると、両者が衝突するときの両者の距離は0になります。したがって、速度(運動エネルギー)は∞になります。

しかし、相対性理論によれば
速度は光速を超えることはありません。

質点が衝突するという質問は、不適切ですか。

それか、これは、2つのブラックホールが衝突するときの状況として、意味はありますか。

回答No.4

ohkawa3

回答(1)です。
私自身かなりの誤解をしていたようですので、回答を取り消したいと思います。大変失礼いたしました。

初心者に対する説明では、大きさがない「質点」と仮定しても、現実の粒子には大きさがあるので、粒子の表面が衝突するだけで、重心点は距離がゼロにならないと考えるようですね。

他のサイトですが、面白いスレッドを見つけたので貼っておきます。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/25554.html

回答No.3

maskoto

単純化のために、片方の物体(序盤では一応体積を持った物体を考える)は位置を固定
もう一方の物体がこれに接近する場合を考えます
両者とも質量Мなら、固定物体からの距離が無限大である地点を位置エネルギーの基準として
近づける物体の位置エネルギーは
GМ²/r
と書けますよね
で、現実世界の話しでは
rが限りなく0にできるということは、
物体の体積も減少せざるを得ない
と言う事になるので
r→0とすると、同時にМ→0と言う事も起きてくるわけで
これだと中々、速度が無限大になる事は難しいと言えそうです
で、
もし物体の質量を一点に集約できる…①
としたら、おっしゃる通り、接近物体(質点)の速度は無限大になりそうです
そうなると、光速を超えてしまいますが
超えてかまわないのです
この話は、①という仮想世界でのことなので、現実世界では起きない事でも、こちらの世界でなら起きてもよろしい
と言う事になるかと思います

回答No.2

maskoto

誤解なさっているような点があるように思えますが
仮に質点どうしが衝突のとき、理論的に
速度無限大が導かれるとすると
それは、光速を超えて現実にはあわない
現実には合わないから、質点とは理想世界(空想)上での概念であって
現実世界には大きさを持たない質量だけを持った点は存在しない
と言う事が言えます
つまり、質点とは仮想的概念だと言う事です

補足

位置エネルギーの式は、分母に距離があります。なので、それが有限の状態から、距離→0に近づくなら、式としては-∞に限りなく近づきます。それが運動エネルギーに変換されるとなると、運動エネルギーは限りなく∞に近づくしかないと思います。

このように、
半径は理論的に(数学的には)いくらでも小さくできます。

そして、一方では、速度が光速を超えないという自然界の鉄則があるので、これは、ニュートン力学で解くのではなくて、相対性理論で解かなければならないのではないでしょうか。

相対性理論を適用させてエネルギー保存則を使うなら、半径を限りなく0に近づけて( だから、距離もまた限りなく0に近づく)も、光速を超えないので、速度は、光速に近づくのではないでしょうか。(予想です)

回答No.1

ohkawa3

＞ニュートン力学を前提にエネルギー保存則で解こうとすると、両者が衝突するときの両者の距離は0になります。したがって、速度(運動エネルギー)は∞になります。

速度は距離の時間微分ですから、距離がゼロに近づくときに、時間もゼロに近づいていくのであれば、無限大ではない有限の値となります。
エネルギー保存の法則で考えれば、2個の質点がもつ位置エネルギー（重力）が、運動エネルギーに変換されると考えれば、混乱しないで速度を求められると思います。

ただし、ご懸念のように、質点の大きさがゼロと仮定すると、密度が無限大になりますので、扱う事象によっては迷宮に迷い込むような場合もあります。
試験問題などでは、質点に対して「大きさがゼロと仮定する」のような書き方ではなく、「大きさは、十分に小さく、無視してよい」のような書き方になっていませんか？