導関数と接線の問題なんですが・・・

質問

f(x)=x^3-5/3xとし、曲線y=f(x)をCとする。
C上の点P(t,f(t)) (t≠0)におけるCの接線lが、
P以外の点QでCと交わるとき、Qのx座標とtで表せ。
またこのとき、QにおけるCの接線の傾きをtで表せ。

という問題なんですが、一応自分でも解いてみてまず
f´(x)=3x^2-5/3として、みたんですが、それさえも
あっているか分からないのですが、ここまでしかわからないので
解き方を教えて下さい。お願いします。

回答No.4

mistery200 · ベストアンサー

接線の傾きは
ｆ'（ｔ）＝３t^2－5/3です。
接線の式は、ｙ軸との切片をｂとおくと
ｙ＝（３t^2－5/3）ｘ＋ｂです。
従って
t^3-5/3t＝（３t^2－5/3）ｔ＋ｂ
ｂ＝-２t^3となります
ｙ＝（３t^2－5/3）ｘ－2t^3が接線の方程式です。
これと元の式との交点はｙが同じ値であるので
x^3-5/3x＝（３t^2－5/3）ｘ－2t^3
整理して
ｘを求めます。
x^3－３t^2ｘ＋2t^3＝０
この式はｘ＝ｔで０が保障されていますので（ｘ－ｔ）で割ります。
（ｘ－ｔ）（ｘ＾2＋ｔｘ－２t^2）＝０
（ｘ－ｔ）（ｘ＋２ｔ）（ｘ－ｔ）＝０
接線だから（ｘ－ｔ）＾２で割れるのですね。
ｘ＝－２ｔ
そのｘからｙを求めます。
ｙ＝（－２ｔ）^3-5/3（－２ｔ）＝－８ｔ＾３＋１０／３ｔ
Ｑの座標は（－２ｔ、８ｔ＾３＋１０／３ｔ）
Ｑでの接線の傾きは
f´(x)=3x^2-5/3にｘ＝－２ｔを代入して12t^2-5/3

お礼

よくわかりました。
わかりやすい解答ありがとうございます。

回答No.3

take_5

＞f´(x)=3x^2-5/3として、みたんですが、それさえもあっているか分からないのですが、ここまでしかわからないので
解き方を教えて下さい。お願いします。

そんな程度もわからないようじゃ、教科書のやり直しをしなさい。

普通は、こう解く。

面倒なんで、 5/3＝aとすると、f(x)＝x^3-ax　‥‥(1)　からxについて微分すると、
f(x)´＝3x^2-a　‥‥(2)となるからf(t)´＝3t^2-a。
従って、x＝tにおける接線の方程式は、y＝（3t^2-a）*（x-t）＋t^3-at　＝（3t^2-a）x-2t＾3　‥‥(3)
(1)と(3)の交点Ｃのx座標は(1)と(3)を連立した方程式：x＾3-3t＾2*x+2t＾3＝0が与える。
ところが、曲線f(x)と接線は点Ｐ(t,f(t)) (t≠0)で接するから、必ず
x＝tという重解を持つ。
点Ｑのx座標をαとすると、解と係数の関係から　α＋t＋t＝0であるから、α＝-2t。
又、(2)より　f(-2t)´＝3（-2t）^2-a＝12t^2-a。

お礼

基本から復習していこうと思います。
回答ありがとうございます。

回答No.2

nettiw

>>y=f(x)=x^3-(5/3)x 　　　　　　　　　(1)
>>f'(x)=3(x^2)-(5/3)

点P(t,f(t)) (t≠0)におけるCの接線工は、

y-f(t)=f'(t)[x-t],
y=[3(t^2)-(5/3)](x-t)+[t^3-(5/3)t]
=[3(t^2)-(5/3)]x+[-3(t^3)+(5/3)t+t^3-(5/3)t]　
=[3(t^2)-(5/3)]x+[-2(t^3)]　　　　　(2)

　　(1)(2),,,
x^3-(5/3)x=[3(t^2)-(5/3)]x+[-2(t^3)]
(x^3)-3(t^2)x+2(t^3)=0
(x^3)-(t^2)x-2(t^2)x+2(t^3)=0
[(x^2)-(t^2)]x=2(t^2)(x-t)
[(x-t)(x+t)]x=2(t^2)(x-t)
(x-t)[(x^2)+tx-2(t^2)]=0
(x-t)(x-t)(x+2t)=0

Qのx座標は、　-2t　。
QにおけるCの接線の傾きは、f'(-2t)=12(t^2)-(5/3) 。
......
g(x)=A(x^3)+B(x^2)+Cx+D (A≠0)
g'(x)=3A(x^2)+2Bx+C
g(t)=A(t^3)+B(t^2)+Ct+D
g'(t)=3A(t^2)+2Bt+C
L: y-[A(t^3)+B(t^2)+Ct+D]=[3A(t^2)+2Bt+C](x-t)

A(x^3)+B(x^2)+Cx+D=[3A(t^2)+2Bt+C](x-t)+[A(t^3)+B(t^2)+Ct+D]
(x-t)[A(x^2)+Atx+A(t^2)+Bx+Bt+C]=[3A(t^2)+2Bt+C](x-t)
(x-t)【A(x^2)+Atx+A(t^2)+Bx+Bt+C-3A(t^2)-2Bt-C】=0
(x-t)【A(x^2)+Atx-2A(t^2)+Bx-Bt】=0
(x-t)【A[(x^2)+tx-2(t^2)]+B[x-t]】=0
(x-t)【A(x-t)(x+2t)+B(x-t)】=0
(x-t)(x-t)【A(x+2t)+B】=0
(x-t)(x-t)【Ax+(2At+B)】=0
x=-(2At+B)/A
B=0
x=-2t
......

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

proto

それさえも合っているかわからないなら導関数を求める方法から復習しましょう。
この問題を解くのはそれからだと思います。

一応、解く手順を、
・f(x)をxで微分する(微分の仕方確認しましょう)
・(t,f(t))におけるCの接線を求める(接線の方程式の求め方も復習しましょう)
・接線とCの交点を求める(式を連立させて解けば良いです)
・複数求まる交点のうち(t,f(t))ではない方が答えです。

いくつかヒントも示しておきます(教科書なんかでしっかりと確認をした方がいいと思います)

y=ax,y=ax^2,y=ax^3をそれぞれxで微分すると
　y=ax → y'=a
　y=ax^2 → y'=2ax
　y=ax^3 → y'=3ax^2

y=f(x)の(t,f(t))における接線の方程式は、
傾きf'(t)の直線が点(t,f(t))を通る事より
　y-f(t) = f'(t)*(x-t)

y=f(x)とy=g(x)の交点の座標は二つの式を連立させることで求めることが出来る。

お礼

基本から復習しようと思います。
回答ありがとうございます。