3次関数の接線について質問

質問

皆さん初めまして。
３次関数の接線問題についてどうしても分からない問題がありましたので、
お助けいただけると幸いです。

f(x) = x^3 + px^2 + qx がある。
x=aにおける曲線,y=f(x)の接線が、接点P(a, f(a))と、P以外の点Qで、
曲線y=f(x)のグラフと交わっている。
このとき点Qのx座標をaとpで表せ。

以上、問題です。皆様どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

f(x) = x^3 + px^2 + qx がある。
x=aにおける曲線,y=f(x)の接線が、接点P(a, f(a))と、P以外の点Qで、
曲線y=f(x)のグラフと交わっている。
＞このとき点Qのx座標をaとpで表せ。
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ
ｆ（ａ）＝ａ^3＋ｐａ^2＋ｑａ
ｙ'＝３ｘ^2＋２ｐｘ＋ｑより、
ｘ＝ａにおける接線の傾き＝３ａ^2＋２ｐａ＋ｑ
接線の式は、
ｙ－（ａ^3＋ｐａ^2＋ｑａ）＝（３ａ^2＋２ｐａ＋ｑ）（ｘ－ａ）
点Ｑは、この式とｙ＝ｆ（ｘ）の交点だから、
ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ＝（３ａ^2＋２ｐａ＋ｑ）（ｘ－ａ）＋（ａ^3＋ｐａ^2＋ｑａ）とおいて
この式からｘを求める。これを整理して、
ｘ^3＋ｐｘ^2－ａ（３ａ＋２ｐ）ｘ＋ａ^2（２ａ＋ｐ）＝０　……（１）
ｘ＝ａが接線の接点であるから、（１）はｘ＝ａを重解にもつ。
点Ｑのｘ座標は（１）上の解だから、それをｘ＝ｂとすると、（１）は
（ｘ－ａ）^2（ｘ－ｂ）＝０と表せる。
展開して整理すると、
ｘ^3－（２ａ＋ｂ）ｘ^2＋ａ（ａ＋２ｂ）ｘ－ａ^2ｂ＝０……（２）
（１）（２）を係数比較して、
ｐ＝－（２ａ＋ｂ），－（３ａ＋２ｐ）＝ａ＋２ｂ，２ａ＋ｐ＝－ｂ
よって、ｂ＝－２ａ－ｐ
よって、点Qのx座標＝－２ａ－ｐ

でどうでしょうか？

お礼

こんなに詳しく教えていただきありがとうございます。
感謝感激です！！

回答No.1

151A48

接線：y=(3a^2 +2pa+q)x-2a^3 -pa^2
x^3 +px +qx=(3a^2 +2pa+q)x-2a^3 -pa^2
より
(x+2a+p)(x-a)^2=0
です。
因数分解は(x-a)^2を因数にもつとして割り算します。

お礼

投稿からこんなに早く教えていただけるとは思いませんでした！！
これでスッキリ次の勉強に望むことができます。
ありがとうございました。