積分の接線

質問

●2点(0,1)(-3,10)を通る曲線y=f (x)上の任意の点(x,y)における接線の傾きはx^2に比例する。この曲線の方程式を求めよ。

…という問題なんですが、

【解答】
y=f(x)のグラフ上の点(x,y)における接線の傾きはf '(x)だから
f '(x)=x^2
これよりf(x)はx^2の不定積分の一つだから
f(x) = ∫x^2dx
　　 = 1/3x^3+C (C:積分定数)
…となるんですけど、
巻末の答えだけ見てみると、求まる曲線はf(x)= -1/3x^3+1となっています。f(x)=∫x^2dx= -1/3x^3+Cとならないと答えと同じものが出ないんですけど、どうしたらいいでしょうか。そもそも根本的に間違っているのでしょうか。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> 傾きはx^2に比例する。

ポイントはこの文です。
x^2に『比例する』ってどういう意味でしたっけ？

> 【解答】
> y=f(x)のグラフ上の点(x,y)における接線の傾きはf '(x)だから
> f '(x)=x^2

『f '(x) = x^2』が違います。
これでは「接線の傾きはx^2に比例する」のではなく、
「接線の傾きはx^2」となっています。

「接線の傾きはx^2に比例する」というのは、
例えばf'(x) = 2x^2や、f'(x) = -5x^2や、f'(x) = (√3)x^2です。

『比例』の意味を再度確認してみて下さい。

お礼

そういう意味でしたか!
比例ってどういうことだと思いながらとりあえず参考書の例題に当てはめてました。
ありがとうございました。

回答No.1

x-nishi

「x^2に比例する」という場合、
f'(x) = x^2
ではなく、
f'(x) = ax^2 (aは任意の実数)
ですよ。
あとは最初に与えられた条件からaとCを求めることになると思います。

お礼

おかげで答えが合いました。
ありがとうございました。