導関数と接線についての問題で・・・

質問

Oを原点とする座標平面上で、
曲線C:y=x^2上の点P(a,a^2) [ただし、a>0]
における接線と、点Pで垂直に交わる直線をLとする。
Lと曲線Cの共有点で、Pと異なる点をQとする。

(1)点Qの座標をaで表せ。
(2)点Qのy座標の最小値と、そのときのaの値を求めよ。
(3)(2)のとき、∠POQは直角であることを示せ。

(1)の答え、 点Q (-(a+1/2a)，(a+1/2a)^2) まではできたのですが、(2)から完全につまってしまいました。
答えは、a=√2/2の時、最小値2のようです。
相加平均・相乗平均の関係を利用するようなので、
点Pと点Qのy座標同士やx座標同士を相加相乗平均の関係に
あてはめてみたのですが、でてくる答えはa=1/2 と微妙に異なるものでした。

自分としては万策尽きたといった具合なので、
こちらで質問させていただきました。
よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞(2)点Qのy座標の最小値と、そのときのaの値を求めよ。

分からないなら、無理して相加平均・相乗平均を使う事もないだろう。

k＝a+1/2a　とすると、y座標＝k＾2だから、k＾2　の最小値を求める。
分母を払うと、2a＾2-2ka＋1＝0.　‥‥(1)　
これがa＞0の解を少なくても一つ持つから、先ず　判別式≧0.　ところが、a＞0からk＞0であり、2解の積＞0、2解の和＞0であるから、2解共に正。
結果は、k＾2≧2.　この時、(1)よりa＝1/√2.

＞(3)(2)のとき、∠POQは直角であることを示せ。

aの値が分かったんだから、ＰとＱの座標が具体的に求められる。
直線ＯＰと直線ＯＱの傾きの積が　-1　になれば、∠POQは直角が証明される。これは教科書に載ってるだろう。

回答No.3

Tofu-Yo

(2)について。

(a + 1/(2a))^2 = a^2 + 1 + 1/(4a^2)・・・(*)

の最大を求めればいいんですよね？
相加相乗平均の関係に2をかけた「p>0,q>0⇒p+q≧2√{pq}（等号はp=qのとき）」を前提にします。
owata-wwwさんの回答のとおりa + 1/(2a)の最小という問題に帰着させてもいいですが、このくらいなら直接、

(*)=｛a^2 + 1/(4a^2)｝+ 1
　　↓{}内にp=a^2,q=1/(4a^2)として上式を適用
≧2√{(a^2)(1/(4a^2))} + 1
= 2√{1/4} + 1 = 2　（等号はa^2=1/(4a^2)⇔a=1/√2のとき成立）

※ a^2=1/(4a^2)はa>0に注意すれば簡単に解けるはずです。

としてもいいと思います。

回答No.1

owata-www

(a+1/2a)^2が最小値
→a+1/2aが最小値
a>0より、1/2a>0なので、相加平均・相乗平均の関係より、
(a+1/2a)/2≧√(a*1/2a)=√(1/2)…(1)
です。等号を満たすのはa=1/2aの時で、a^2=1/2となり、a>0より、a=√2/2です。よって、求めるのはa=√2/2の時で

(1)より、
(a+1/2a)=2√(1/2)
→(a+1/2a)^2=2^2*{√(1/2)}^2=2
です。

(3)は色々やり方はありますが、おまかせします