√ｘ＋√ｙ＝１とその接線

質問

私の頭ではわかりそうでわからないいらいらする問題です。よろしくお願いします。
曲線√ｘ＋√ｙ＝１の任意の点（α、β）での接線がｘ軸、ｙ軸と交わる点をP,Qとするとき、
（１）接線の式をα、βで表せ。
ｙ＝（１－√ｘ）の２乗として
展開するとｙ＝１－２√x＋ｘ
導関数を求めて
ｙ’＝１＋１／√xこれが接線の傾きになるので
求める接線は
ｙ－β＝（１＋１／√x）（ｘーα）

（２）OP＋OQ＝１であることを示せ。（ただしOは原点）
座標点（ｐ、０）と（０，Q）を（１）式に代入して
｜OP｜＋｜OQ｜を計算すると１になると予想したのですが・・・・・。
どうしたらよいでしょうか。

回答No.2

sta_vanilla · ベストアンサー

ちょっと取り組んでみました。
確かに計算ミスしやすくイライラしますね（苦笑）

まず導関数ですが、ちょっと間違っているのでは？

y' = 1 - 1 / √x となるので、接線の方程式は

y - β = ( 1 - 1 / √α ) ( x - α) ‥ (A)

となるように思います。

次に (2) ですが、接線の方程式と x 軸および y 軸との交点を求めるために
上の (A) の式に x = 0 および y = 0 を代入します。

この接線とx 軸, y 軸との交点の座標を P(p,0) および Q(0,q) とおくと

p = -α + β + √α
q = √α( -α + β + √α) / ( 1 - √α)

となるようです。

OP + OQ = 1 であることを示すために、p + q を計算します。
ここでαとβは元のグラフ上の点であるので、

β = ( 1 - √α)^2

を満たします。（x^2 の表記は x の２乗を表します）
これを使って p + q の中で現れるβを消去してしまいます。

ここから先は（計算ミスに気をつけて）辛抱強く計算すれば、最終的に
αも消去されて予想された結果が導かれるはずです。

参考になさってみて下さい。

＃　私も途中で何度か計算ミスしたので今回は自信なしで（笑）

お礼

ありがとうございました。
できるだけ分解しないでやってみたところ
OP＋OQ＝１－√２＋√２＝１となりました。
感謝感激です。

回答No.1

eatern27

方針は間違っていません。

＞ｙ’＝１＋１／√x
ちょっと違います。

y=f(x)の、(α,β)における接線の方程式はy-β=f'(α)(x-α)です。
＞ｙ－β＝（１＋１／√x）（ｘーα）
f'(α)の部分がf'(x)(に相当するもの)となってますね。

あとは、
|OP|+|OQ|=p+qをα,βで表して、
√α+√β=1の関係を使って、αかβを消去すれば、他方も自動的に消去されて、1となります。

お礼

ありがとうございました。
なんとかわかりました。