数学の問題です

質問

この問題がわかりません(´；ω；｀)

xy平面上に2つの曲線Ｃ1:x^2,C2:y=2x^2－4x+3がある。
C1上の点P1におけるC1の接線の傾きと、C2上の点P2におけるC2の接線の傾きが一致するとき、P1とP2を通る直線を引く。
このようにして得られた全ての直線は定点を通ることを示せ。また、その定点の座標を求めよ。

あと、定点の説明をしてもらえると嬉しいです(´；ω；｀)

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

C1はｙ＝ｘ＾２でしょうか。

両方の式をｘで微分するとそれぞれ
ｙ’＝２ｘ
と
ｙ’＝４ｘ－４
となります。Ｐ２の座標を（ｔ、２ｔ＾２－４ｔ＋３）とすると、Ｐ２におけるＣ２の傾きは４ｔ－４です。
Ｃ１の傾きがこれと等しくなるのがＰ１なので、
４ｔ－４＝２ｘ　とおくと
ｘ＝２ｔ－２
これをｙ＝ｘ＾２に代入すると
ｙ＝４ｔ＾２－８ｔ＋４
以上より、直線Ｐ１Ｐ２は
（ｔ、２ｔ＾２－４ｔ＋３）　および　（２ｔ－２、４ｔ＾２－８ｔ＋４）　をとおります。
よってＰ１Ｐ２の式は
（ｙ－２ｔ＾２＋４ｔ－３）／（ｘ－ｔ）＝（（４ｔ＾２－８ｔ＋４）－（２ｔ＾２－４ｔ＋３））／（（２ｔ－２）－ｔ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（２ｔ＾２－４ｔ＋１）／（ｔ－２）
（ｙ－２ｔ＾２＋４ｔ－３）（ｔ－２）＝（ｘ－ｔ）（２ｔ＾２－４ｔ＋１）
途中省略しますがこれを展開、整理すると
８ｔ＾２－（１１－ｙ）ｔ＋６－２ｙ＝（４＋２ｘ）ｔ＾２－（１＋４ｘ）ｔ＋ｘ　・・・（あ）
となり、定点をとおるということはｔの値によらず（あ）が成り立つということ
なので、（あ）はｔに関して恒等式となります。よって両辺の係数を比較して
８＝４＋２ｘ
１１－ｙ＝１＋４ｘ
６－２ｙ＝ｘ
これらを解くとｘ＝ｙ＝２
となり、直線Ｐ１Ｐ２は（２，２）という定点を通ることが判ります。

お礼

ありがとうございます！
助かりました！

問題打ち間違えてました(-ω-；)
すみません(-ω-；)

回答No.1

spring135

問題が間違っていませんか。

1）C1：y=x^2ですか。

2）C1上の点P1におけるC1の接線の傾きと、C2上の点P2におけるC2の接線の傾きが一致するとき、P1とP2を通る直線を引く。

意味は解りますが下手な日本語ですね。

3）このようにして得られた全ての直線

２本しか共通接線は引けませんがこれをすべてというのですか。定点は単にこの２本の接線の交点でよいのですか。

補足

問題文をそのまま打っているので…
ごめんなさいm(_ _)m

問題文y=x^2でしたっ(´xωx｀)