楕円の接線の問題

質問

楕円の接線の問題

（１）接線の勾配は、楕円の方程式
..... (x/a)^2＋(y/b)^2＝1
をxで微分することで求めることができます。
微分すると、
.....2(1/a^2)x+2(1/b^2)y(dy/dx)=0
です。これを変形すると、
......dy/dx=－{(a^2)x}/{(b^2)y}
となりますので、点Pの勾配は(x,y)=(p,q)を代入して
.......－{(a^2)p}/{(b^2)q} ……(1)
です。

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（２）点Pを通り接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数であることから、
........y-q={(b^2)q}/{(a^2)p}・(x-p) ……(2)
となります。

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（３）式(2)のyに0を代入して、xについて解くと、交点Xのx座標が
.......x=p{1-(a/b)^2}
であると分かります。

式変形はこれであっていますか？

回答No.4

NemurinekoNya · ベストアンサー

>2(1/a^2)x+2(1/b^2)y(dy/dx)=0これを変形すると、
>dy/dx=－{(a^2)x}/{(b^2)y}　　　　…(α)

(α)のところ
dy/dx = -(x/a^2)/(y/b^2)　　　　　　(y≠0)
になるんじゃないの？
y=0の時には、ゼロ割になるのでので注意。
ちなみに、y=0の時の接線は
　x = ±a　　　　　　　　　　　　(a>0)

>点Pを通り接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数であることから、
>........y-q={(b^2)q}/{(a^2)p}・(x-p) ……(2)
>となります。
　「傾きが(1)の逆数である」というのは明らかに間違いだよね。

法線の方程式の傾きをmとすると
　m*{-(p/a^2)/(q/b^2)} = -1
　で、mを求めるとき、(x=)p=0の時、ゼロ割が発生するので、注意が必要!!

補足

>(α)のところ
dy/dx = -(x/a^2)/(y/b^2)　　　　　　(y≠0)
どうしてy≠0になるのですか？y=0の時には、ゼロ割になるとはどういうことでしょうか？
同様にmを求めるとき、(x=)p=0の時、ゼロ割が発生するとはどういうことですか？
ちなみに、y=0の時の接線は
　x = ±a　　　　　　　　　　　　(a>0)
というのはどうすれば求められますか？

回答No.3

stomachman

(1) 「式変形」が間違ってます。
(2)接線に垂直な直線を法線と言います。「傾きが逆数」にはなりません。
(3) Xが何と何との交点なのかはっきりしないと、何の計算だか意味不明です。

補足

どこの式変形が間違っているのですか？
傾きをかけたら―1なのはわかるのですが。。
Xは法線っとX軸との交点です。

回答No.2

Willyt

『傾きが(1)の逆数であることから』　惜しいですね。交わる二直線が直交する条件はそれぞれの直線の勾配をｍ、ｎとするとｍ・ｎ＝－１ですから符合が逆になります。

補足

それ以外はあっていますか？
書き方はまずかったですが、勾配の積が―1になることは反映させています。

回答No.1

asuncion

式変形は正しいかもしれませんが、

＞接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数である

この考え方は正しいですか？
単純に逆数であるとだけすると、符号のことを忘れてはいませんか？