導関数について

質問

座標平面上に曲線　y=-x^2/2 + 3x・・・(1)がある。
　（１）曲線(1)上の点（p.-p^2/2+3p)(p>0)における接線をｌとする。
ｌの方程式は　y=(-p+3)x+p^2/2　である

ｌが点A（0.8）を通るとき　p＝4であり、このときの接線をB とすると、B（4．4）である。

曲線(1)上に点P（t,1t^2/2 +3t)(0<t<4)をとる
線分APとｙ軸と曲線(1)とで囲まれた図形の面積をStとすると
Sｔは？

また、線分BPと曲線(1)とで囲まれた図形の面積をS2tとすると

Sｔ　＋　S2ｔの値は？

また、Sｔ　＋　S2ｔは　ｔ＝○のとき最小となる。

お願いします！過程もお願いします！

回答No.3

ferien · ベストアンサー

No.1です。この問題を一度解いて、

Sｔ　＋　S2ｔ＝(-1/6)ｔ^3＋ｔ^2＋16/3　となって、
微分により最小値を調べたのですが、
０＜ｔ＜４の範囲で単調増加で、区間の端（ｔ＝０とｔ＝４のとき）で
値が求められないので、最小値が出せないと思い、
No.1のような問題の確認の質問をしました。

>曲線(1)上に点P（t,1t^2/2 +3t)(0<t<4)をとる
の部分は、正確にはどのような問題なのか教えて欲しいと思います。

回答No.2

info22_

(1)
>ｌの方程式は　y=(-p+3)x+p^2/2
OK

>ｌが点A（0.8）を通るとき　p＝4であり
OK

>接線をB とすると、B（4．4）である。
OK

>曲線(1)上に点P（t,-t^2/2 +3t)(0<t<4)をとる

直線AP：y=((-t^2/2+3t-8)/t)x+8　(0<t<4)

>Sｔは？
St=∫[0,t] ((-t^2/2+3t-8)/t)x+8-(3x-x^2/2)dx
=-(t^3-48t)/12

直線BP：y=((t^2/2-3t+4)/(4-t))*(x-4)+4
S2t=∫[t,4] -x^2/2+3x-(((t^2/2-3t+4)/(4-t))(x-4)+4)dt
=-t^3/12+t^2-4t+16/3

>Sｔ　＋　S2ｔの値は？

S=St+S2t=-t^3/6+t^2+16/3

>Sｔ　＋　S2ｔは　ｔ＝○のとき最小となる。

dS/dt=(1/2)t(4-t)
t=0,4でdS/dt=0
0<t<4でdS/dt>0
Sは0≦t≦4で単調増加
従って
t=0のとき最小となる。
最小値S=16/3

回答No.1

ferien

問題について確認ですが、
>曲線(1)上に点P（t,1t^2/2 +3t)(0<t<4)をとる
は、係数が１になっているし（？）
（１）上の点とはちょっと考えにくいのですが。。。？