接線の方程式！！！

質問

「関数y=f(x)のグラフ上に定点Aと動点Pをとり、点Pを点Aに限りなく近づけるとき、直線APが定直線Lに限りなく近づくならば、この定直線Lを「曲線y=f(x)上の点Aにおける接線」といい点Aを接点という。定直線Lがx軸に垂直ではないとすれば、直線APが定直線Lに限りなく近づくことは、直線APの傾きが点Aを通る定直Lの傾きに限りなくちかづくということである。」の『定直線Lがx軸に垂直ではないとすれば』と言っているのはなぜなんでしょうか？？
教えてください！！！

回答No.11

oshiete_goo · ベストアンサー

＞、「y軸に垂直ではない」と書かれていないのは(傾き)＝(yの変化量)／(xの変化量)のｙは変化しなくてもｘは変化するので「傾きが存在すると思えばいいんです・・ね？？
y軸に垂直＝x軸に平行 なときは, ｘが変化しても yの変化量＝0で,
傾き＝0 となり, y=ax+b の a=0の場合です．
つまりｙ＝ｂ（定数）となりますから，１次関数とは呼べませんが，「傾き０の直線」で困らないのです．

お礼

ありがとうございますーー！！とってもすっきりしました！！　　今後ともよろしくおねがいします！！

回答No.10

oshiete_goo

横レスになってしまいますが...(eatern27さんすいません.)
＞つまりy=ax+bで表せないときその直線には傾きが無いとおもえばいい・・んですよね？？
全くその通りです.

y=ax+b と書いたとき, 傾きaは
(傾き)＝(yの変化量)／(xの変化量)
が定義ですから, x軸に垂直(y軸に平行)という時は, 通常の意味では傾きは「定義されない」ので, (xが変化しないので,分母が0になる割り算は定義できない)
y=ax+b の形では表せず, eatern27さんもおっしゃるように
＞x軸に垂直だと、「傾き」が存在しないため、この場合を除外しています。
となります.

ただし, 大学レベルでもっと拡張した捉え方をすると, 「傾き∞」のような表現をすることはありますが, かえって混乱する危険があるので, そういうレベルの話をしているのでなければ, とりあえず聞き流しておいた方が良いです.
例えばbell-bellさんが普通の中学生に話しをするのに,下手にそういう話をすると,混乱させるだけです.

補足

はー！！そういうことですね！！なるほど！では、「y軸に垂直ではない」と書かれていないのは(傾き)＝(yの変化量)／(xの変化量)のｙは変化しなくてもｘは変化するので「傾きが存在すると思えばいいんです・・ね？？

回答No.9

eatern27

直線がx軸に垂直であればy=ax+bの形では表せません。x=kという形で表します。
これは、分かりますね?
この質問の場合ではAPの傾きが接線の傾きに近づくということになりますが、直線がx軸に垂直であれば、x=kという形で表せるため「傾き」という概念がありません。(あえて言うなら∞ということになりますが、これは数ではありません)
x軸に垂直だと、「傾き」が存在しないため、この場合を除外しています。

お礼

解決しました！ありがとうございました！！また変な質問するとおもいますがよろしくおねがいします！！

補足

他の補足のところでも書いたのですが、つまりy=ax+bで表せないときその直線には傾きが無いとおもえばいい・・んですよね？？

回答No.8

oshiete_goo

#7の回答に誤りがあります.
＞原点におけるの接線の傾き無限大だ。無限小とも言える。だから、傾きという言葉が使えない。
傾き→±∞とみて, (絶対値が)『無限大』はラフな表現としては使われることもありますが, 『無限小』とは言えません. (無限小は絶対値が"無限に小さい(→0)"の意味)
通常の意味ではやはり接線の傾きは『定義できない』となります.(だから除外したいわけです.)

＞接線といえるかどうかもわからない。（交わるから）
ｙ＝x^(1/3) と直線x=0は原点(0,0)で接し, 後者は前者の接線です.
これは直線y=0がy=x^3の原点での接線になっているというのと同様です.

回答No.7

good777

ｙ＝x^(1/3)
y＝立方根ｘ
のとき、
原点におけるの接線の傾き無限大だ。無限小とも言える。だから、傾きという言葉が使えない。
接線といえるかどうかもわからない。（交わるから）
で、こういうのを除けば、傾きという言葉が使える。
ということ。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.6

mmky

#3からの追伸
正確な解答及び指摘は＃５oshiete_gooさんにありますので、
蛇足メモまで。
接線Ｌは、ｙ-ｙ1＝ｆ'(x)(x-x1)
ｆ'(x)は、0から±∞まで取れます。
ｆ'(x)＝0で、ｘ軸に平行な接線
ｆ'(x)＝±∞で、ｘ軸に垂直な接線
が正しいですね。
質問者の命題の文章では、
（ｘ軸に垂直な接線は入れてやらない。なぜなら、ｙ-ｙ1＝±∞　となって
方程式でかけないから。）ということを表現しているんだよね。
でも、「ちょっと、たんま」だよね。
以下の文章表現は、質問者が疑問を持ったように日本語になっていませんよね。
「定直線Lがx軸に垂直ではないとすれば、直線APが定直線Lに限りなく近づくことは、直線APの傾きが点Aを通る定直Lの傾きに限りなくちかづくということである。」
「定直線Lがx軸に垂直ではないとすれば、」の位置が悪いね。これは但し書きにするもんだね。
でもこの文章を書いた人は、多分滑らかな関数を心に描いて書いたんですよね。わざわざ曲線yを入れているし、だから滑らかにならない部分は除外したということで、思考の流れとしての記述としては正しい文章だと思います。
文章が思考的に美しくても、後からの皆さんがbell-bellさんのような疑問を持つことは避けたいですね。「この文章も直さなきゃだめだね。国語の先生お願いします。」
雑談
余計でごめん！

お礼

ありがとうございました！！とても参考になりました！！

回答No.5

oshiete_goo

＞x軸に垂直な直線が接線となる関数はないから・・
これは残念ながら大ウソなので, 説明します.

＞定直線Lがx軸に垂直ではないとすれば、
これは, 定直線Lがx軸に垂直なときは, 直線Lの『傾き』は定義出来ない(y=ax+bの形では書けない)ので, 今の話では不都合だから, この場合を除外したいからです. つまり『傾きLの直線』という形では接線を表現できなくなるからであって, このような接線そのものは一般にはちゃんと存在します.

１）関数f(x)=√x の定義域はx≧0で, x=0の時のy=f(x)のグラフの接線は直線x=0
x=0の点は定義域の端点であり, 右微分係数しか存在せず例外的なので, もしこの例がいやなら, x軸に垂直な接線が例外ではない根拠として他の例も挙げておきま
す.

２）関数 f(x)=[3]√x＝x^(1/3) [[3]√x は xの3乗根のつもり]
は全ての実数xで定義される単調増加関数で, x=0の時の接線は直線x=0であり, y=ax+b の形では書けません.

補足

つまりｙ=ax+bの形であらわせることができなければその直線には傾きがないということです・・よね・・？

回答No.4

nozomi500

さらに、ヒントの補足ヒント。
そもそも、「関数」って、何だっけ。

お礼

あろがとうございました！

回答No.3

mmky

＃１さんのヒントの補足
関数y=f(x)
傾きは、ｙ’＝f’(x1)＝tan(a)＝∞
はまずいんじゃない。
なめらかな曲線y　にならないね。
参考まで

回答No.2

what987

困り度を見ればどれだけ困っているのは分かるので、エクスクラメーションマーク（！）を多用するのはやめてくれい。
ネットワークのトラフィックが増えるのではなかろうか？

補足

そうなんですか？知りませんでした。きをつけます。

回答No.1

dlx_xlb_qlo_olp

んじゃヒントね。

教えちゃうとbell-bellのためにならにから許してね。

『定直線Lがx軸に垂直ではないとすれば』なんだから
『定直線Lがx軸に垂直』となるときは
どんなときなのかを考えてみましょう。

これでわかったかな？

補足

えーっと。考えてみました！　x軸に平行な直線が接線となる関数はあっても、x軸に垂直な直線が接線となる関数はないから・・ということでしょうか？