三次関数とその接線で

質問

８３年東大文系の大問３の問題です。解答を見たところちょっと分らないところがありましたので質問させていただきます。

C:y = x^3 + ax^2 + bx + c

C上の点Ｐにおける接線Ｌが、Ｐと異なる点ＱでＣと交わるとする。このとき、ＬとＣで囲まれる面積と、Ｑにおける接線ＭとＣで囲まれる面積の比を求め、一定であることをしめせ。
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以下、解答の途中までです。

ＰとＱのｘ座標をそれぞれα、βとする。
ｆ(x)＝x^3 + ax^2 + bx + c とおき、Ｌの式を
y=g(x)とする。
【ここでf(x)－g(x)＝０の解はα(２重解)とβである】からＰ，Ｑについての条件から
f(x)－g(x)＝(x-α)^2 ×(x-β)である

ここで【】の中の意味が分らないです。＾＾；
どうしてf(x)－g(x)＝０の解はα(２重解)とβとなるのでしょうか？簡単に教えていただける方おねがいします。

回答No.1

dollar · ベストアンサー

（１）f(x)－g(x)＝０の解は、f(x)=g(x)の解と同じです。
（２）f(x)=g(x)とは、「y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの交点のx座標を求めるための式」に他なりません。
（３）よって、f(x)=g(x)の解は、「y=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフの交点のx座標」である、α(２重解)とβになります。

あまり詳しく解説できてないですけど、ダメでしょうか？

回答No.3

minardi

f(x)-g(x)=(x-A)(x-B)(x-C)とおくと

f(x)とg(x)はx＝αで等しいので
ｆ(α)＝g(α)より
(α-A)(α-B)(α-C)＝0となってA、B、Cのどれか１つはα
いま、A=αとします。

f(x)、g(x)のx＝αにおける傾きが等しいので
f'(α)＝g'(α)より
f'(α)-g'(α)＝(α-B)(α-C)＝0となって、B、Cのどちらか１つはα

回答No.2

Piazzolla

二次方程式の解の判別式と同じように、接線がある＝重解持つ、ということでしょうか？

f(x)とg(x)は接線と、それと異なる点で共通の解がありますから、

f(x)＝g(x)と置ける。
f(x)－g(x)＝０

となり、ｘを求めると、その解はα（重解）とβになります。
一般式は、(x-α)^2 ×(x-β)

いい加減な説明ですみません。。。