（Ｘ+１)(Ｘ+２)(Ｘ+３)(Ｘ+４）の展開仕方

質問

（Ｘ+１)(Ｘ+２)(Ｘ+３)(Ｘ+４）の簡単な展開の仕方ってないでしょうか？
教えて下さいお願いします

回答No.3

staratras · ベストアンサー

以下は、展開の方法というより検算の方法です。「簡単」かどうかは考え方次第ですが、誤りの発見には役立ちます。

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)を展開したとき、
x^4の係数が1、定数項が1・2・3・4=24であることは容易にわかります。
では、そのほかのx^3,x^2,xの係数はどうなるでしょうか。

展開したときx^3となるのは4つの（）のうち、3つからxを選び残りの1つから数値を選んだ場合だから、係数は1つずつの数値の和で1+2+3+4=10。
展開したときx^2となるのは4つの（）のうち、2つからxを選び残りの2つから数値を選んだ場合だから、係数は2つずつの数値の積の和で1・2+1・3+1・4+2・3+2・4+3・4
=2+3+4+6+8+12=35。
開したときxとなるのは4つの（）のうち1つだけxを選び残りの3つから数値を選んだ場合だから、係数は3つずつの数値の積の和で1・2・3+2・3・4+3・4・1+1・2・4=6+24+12+8=50。
まとめると、x^4+10x^3+35x^2+50x+24 です。

なお実際の計算は、下の図を見ながら行えば容易です。

ここから先は「学生・生徒以外の方」への「おまけ」です。
x^3の係数は、単勝の馬番の和です。
x^2の係数は、連勝複式の2頭の馬番の積の和です。
xの係数は、三連勝複式の3頭の馬番の積の和です。

お礼

有り難う御座います

回答No.2

info222_

（Ｘ+１)(Ｘ+２)(Ｘ+３)(Ｘ+４）
=t(t-１)(t+1(t+2）, t=Ｘ+２とおく.
=t(t^2-1)(t+2) =t(t^3+2t^2-t-2)
=(X+2)^4+2(X+2)^3-(X+2)^2-2(X+2)
=(X^4+8X^3+24X^2+32X+16)+2(X^3+6X^2+12X+8)-(X^2+4X+4)--2(X+2)
=x^4+10X^3+35X^2+50X+24

お礼

有り難う御座います

回答No.1

f272

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24
=x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24
=x^4+10x^3+35x^2+50x+24

お礼

有り難う御座いましす