(2+x)/(2-x)の展開（微積分）

質問

ある教科書で
(2+x)/(2-x) = 1+x+x~2/2 + x~3/4 + x~4/(8-4x)
と展開しているのを見かけましたが、これはどうやって展開したものでしょうか。

私は(与式)= 2/(1+(x/2))-1 として無限級数にしたりしてみましたが、どうやっても上のような展開にできません。どなたかよければお答え願います。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x)=(2+x)/(2-x) …(1)

f(x)を x=0のまわりで3次の項まで項テイラー展開（3次の項までマクローリン展開）すると

　f(x) = 1+x+(x^2)/2 + (x^3)/4 + R4 （R4は余剰項) …(2)

ここで,(1),(2)からR4を計算すると

R4=(2+x)/(2-x) -{1+x+(x^2)/2 + (x^3)/4} = x^4/(8-4x)　…(3)

このR4を(2)に代入してやると教科書の通りの展開式になります。

お分かりになりましたか？

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/040ksk.html

お礼

丁寧なご説明ありがとうございます。腑に落ちました。
剰余項の定義を再確認すれば自然に導けるのですね。
BAに選ばせていただきます。

回答No.2

rnakamra

>(与式)= 2/(1+(x/2))-1

ここが違います。
(与式)=2/(1-(x/2))-1
です。
これを3次の項まで展開すると
(与式)=-1+2+2*(x/2)+2*(x/2)^2+2*(x/2)^3+R(x)

R(x)=(2+x)/(2-x)-{1+2*(x/2)+2*(x/2)^2+2*(x/2)^3}
からR(x)を計算すれば展開の式が得られます。

お礼

ご回答感謝します。わかりやすいご説明でした。
間違いの指摘、ありがとうございます。写し間違えておりました。