グラフの場合わけ

質問

f(x)=x^3-3x^2+4のグラフが区間t≦x≦t+1におけるf(x)の最大値Ｍを求める問題で
x=2のところの範囲辺りををt=3+√33/6で場合わけしてあるのですが
なぜこれで場合わけできるのか教えてください。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

グラフの場合わけなのだから、グラフを書いて考える。
グラフは当然書きましたね。
極値は x = 0 で極大, x = 2 で極小
問題なのは、定義域 t ≦ x ≦ t + 1 に x = 2 が入っているとき。
このとき f(x) の最大値は f(t) か f(t+1) の大きい方であることがポイント。

t ≦ 2 ≦ t + 1 の条件下で、
f(t) ≦ f(t+1) か f(t) ≧ f(t+1) のどちらでも良いので解けば、どのように場合わけすればよいかが分かる。
f(t) ≦ f(t+1) を解けば t ≦ (3-√33)/6, (3 + √33)/6 ≦ t が得られるが、t ≦ 2 ≦ t + 1 で考えているので、(3 + √33)/6 ≦ t で場合わけする。つまり、
t ＞ (3 + √33)/6 ならば f(t) ＜ f(t+1)　→ M = f(t+1)
t = (3 + √33)/6 ならば f(t) = f(t+1)　→ M = f(t) = f(t+1)
(0 ＜) t ＜ (3 + √33)/6 ならば f(t) ＞ f(t+1)　→ M = f(t)