二次関数の最大値の求め方(グラフ式)

質問

こんばんわ。高校二年生なのに勉強してないせいで高校一年生のレベルでつまずいています(泣)
とある参考書を買ったのですが、どうあがいてもわからない問題が一つありました。
それはグラフを書いて、二次関数の最大値を求めろという問題でした。
何とか最小値は理解したのですが、最大値の答えがわからなくて
参考回答を見たのですが、あまり理解できなかったので質問させてもらいました。
問題はというと。
二次関数y=f(x)=(x-a)^2+2 (0≦x≦2)という問題です ※^というのは二乗という意味です。
これの参考回答が。
「これも、カニ歩きする放物線に対して、固定された定義域[0≦x≦2]が与えられているので、場合わけが必要となる。実際にグラフを書きながら考えることだ。すると、今回は(1)a<1と(2)1≦aの二通りの場合わけでいいことがわかるはずだ。」
と書いています。この意味が全く解りません。
グラフで書いてみてもチンプンカンプンで、勉強が止まってしまいました(汗)
なぜa<1と1≦aの二通りの場合わけだけでいいのか、教えてください！

長い文章で申し訳ありませんでしたm(._.)m ペコリ

回答No.1

sanori · ベストアンサー

この二次関数が最小（極小）になるのは、カッコの中の　ｘ－ａ　がゼロのときです。
つまり、ｘ＝ａ　の両側に線対称なグラフになります。

ｘの変域は、ｘ＝０　から　ｘ＝２　までですので、
ａ＝１であれば、ど真ん中の　ｘ＝１　の両側に対称なグラフとなります。
そのとき、最大値は、ｆ（０）＝ｆ（２）＝１^2 ＋２＝３　です。

中心を右にずらす、つまり、ａを１より大きくすると、ｘ＝０のところが最大値になります。
それと対称に、
中心を左にずらす、つまり、ａを１より小さくすると、ｘ＝２のところが最大値になります。

言い換えれば、
ａ＝１　のときの最大値はｆ（０）＝ｆ（２）＝
　（０－ａ）^2　＋　２　＝　（０－１）^2　＋　２
ａ＞１　のときの最大値はｆ（０）＝（０－ａ）^2　＋　２
ａ＜１　のときの最大値はｆ（２）＝（２－ａ）^2　＋　２

ちなみに、上記のａ＝１とａ＞１を合わせて
ａ≧１　のときの最大値はｆ（０）＝（０－ａ）^2　＋　２
と表せることができるということは、おわかりですよね？

補足

頂点が(a,2)となることはわかりました。
ですが、なぜ真ん中のx=1を取らないといけないのかが全く理解できないのです。
最大値を求めるときに、なぜ[0≦x≦2]のど真ん中の1が出てくるのでしょうか？
正直、自分の質問の意味すらわからなくなっています(汗)
自分で自分の言っていることがわからなくなってきているので、余計にわからなくなっているのだと思います。
ぶっちゃけると、最小値も解答を見ないとたぶん解けません。
本当に申し訳ありません。もうちょっと考えてみます。

回答No.5

tekcycle

基礎の基礎。
ｙ＝ｘ^2のグラフを描いて下さい。
区間を(-3,1) (-2,0) (-2,1)(-2,2) (-1,2) (0,2) (1,3)などと色々取りながら、それぞれ最大と最小がどうなるのか、どの地点なのか、自分で見てください。
こういうことをしないうちに闇雲に問題に取り組もうとしても余程頭の良い人でない限り解けません。
まず判り易い形でどうなっているのかを見ないと。
数学はお絵描きです。
ａなんていう抽象的なことをいきなり取り扱おうとしないように。
それが終わってから、その問題のグラフを描いてみて下さい。

ｙの最大値に限って言えば、区間の最小と最大のところでｙの値がどうなっているのかということになるでしょう。
ｙの最小値についても問題となるんですが、この問題では問うていません。
ａがいくつの時にどうなっていますか？
ａに色々代入して考えてみて下さい。
抽象的なことが苦手なら、なるべく具体的な数値を入れて考えましょう。

> 最大値を求めるときに、なぜ[0≦x≦2]のど真ん中の1が出てくるのでしょうか？

真ん中だから出ているわけではありません。
それは区間を0.5≦x≦2.5にすればその真ん中が話題になるのか考えれば良いことです。

ウルトラC。
二次関数のグラフって、ｘ^2の係数が同じであれば、全部同じ形の物を平行移動しただけなんです。(虚数だなんだのことは知りませんよ)
(更に言うと係数を変えたところで全部相似形なんです)
このグラフは、ｙ＝ｘ^2を、ｘ方向にａ、ｙ方向に2移動しただけです。
じゃぁｘ1という軸を作ってしまいましょう。
ｘ1＝ｘ-ａという関係で。
すると、この問題は、
ｙ＝ｘ1^2＋２ というグラフに対して区間(０－ａ≦ｘ1≦２－ａ]の範囲でどうなっているのかという話になります。

回答No.4

age_momo

>なぜ真ん中のx=1を取らないといけないのかが全く理解できないのです。

aがすごく小さいときには定義域[0≦x≦2]ではグラフは右肩上がりですね。
当然、最大値は定義域の右端=f(2)になります。
一方、aがすごく大きいときは定義域[0≦x≦2]ではグラフは右肩下がりですね。
当然、最大値は左端=f(0)になります。
では、どこかで入れ替わっていますね。どこでしょうかということです。

シーソーを思い浮かべてください。右が上がっている状態から
左が上がっている状態に変わる瞬間は左右が同じ高さになりますね。
それと同じです。f(2)とf(0)が同じ高さになるには、、、
二次式のグラフは左右対称です。ですから、左右両端が同じ高さになったときには
谷の先端はそのど真ん中です。つまり、a=1の時なのです。
だから、aが1より大きいか、小さいかで場合わけしています。

回答No.3

sanori

>>頂点が(a,2)となることはわかりました。
>>ですが、なぜ真ん中のx=1を取らないといけないのかが全く理解できないのです。
>>最大値を求めるときに、なぜ[0≦x≦2]のど真ん中の1が出てくるのでしょうか？

先ほど回答した下記の部分を何度も何度も読んでいると、だんだんわかってきますよ。
ｘ＝１が頂点の場合、左と右に１ずつ進んだｘ＝０のときのｙとｘ＝２のときのｙが等しい、言い換えれば、ｆ（０）とｆ（２）が等しくなり、そのｆ（０）、ｆ（２）が最大値だということです。
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この二次関数が最小（極小）になるのは、カッコの中の　ｘ－ａ　がゼロのときです。
つまり、ｘ＝ａ　の両側に線対称なグラフになります。

ｘの変域は、ｘ＝０　から　ｘ＝２　までですので、
ａ＝１であれば、ど真ん中の　ｘ＝１　の両側に対称なグラフとなります。
そのとき、最大値は、ｆ（０）＝ｆ（２）＝１^2 ＋２＝３　です。

回答No.2

debut

f(x)=(x-a)^2+2は、軸ｘ＝aについて線対称ですよね。

いま、 0≦x≦2なので、もし軸が０と２の真ん中の１にある
とすれば・・・☆、f(0)の値とf(2)の値は同じになりますよね。

だから、軸が１よりちょっとでも小さくなれば（放物線が☆の
状態よりちょっとでも左に動けば）f(2)の値の方がf(0)の値より
大きくなります。・・・Ａ
また、軸が１よりちょっとでも大きくなれば（放物線が☆の
状態よりちょっとでも右に動けば）f(0)の値の方がf(2)の値より
大きくなります。・・・Ｂ

なので、a＜１ではＡのときのことだから最大値はf(2)になり
１＜a ではＢのことだから最大値はf(0)になるというように
最大値が変化する。よって、a の値が１より大きい・小さいで
場合分けしなければいけないということです。
そして、a=1は最大値がf(0)でもf(2)でも同じなのでどちらに
入れてもいいから、この場合は１≦a とＢの方に入れてます。

☆、Ａ，Ｂの３つのグラフをかいてみてください。

補足

全ての方の回答を拝見いたしましたが、僕は相当頭が弱いみたいで、
グラフを書いても全く何もわからず、もう諦めようと思います。
数学を勉強してなかったのが災いして、何が解らないのかがわからなくなってしまいました。
もうこうなったら数学は終わりだと思いますので、大学受験から考え直そうと思います。
ご協力してくださった皆さん、ありがとうございました。
そして、申し訳ありませんでした。