二次関数の場合わけ

質問

『関数Ｙ＝Ｘ^2＋４Ｘ＋１（a≦Ｘ≦a+２）の最大値をＭ(a)、最小値をｍ（a）とるす。ｂ＝Ｍ(a)、ｂ＝ｍ（a）のグラフをかけ』という問題がありました。僕は定義域の場合わけを基本通りにやっていきましたが、途中でつまづいてしまいました。以下僕の答案です。

Ｙ＝Ｘ^2＋４Ｘ＋１
　＝（Ｘ＋２）^2－３　頂点座標（－２、－３）　軸Ｘ＝－２

ⅰ）a+２＜－２⇔a＜－４のとき
　Ｍ(a)　＝ａ^2＋４ａ＋１
　ｍ（a）＝ａ^2＋８ａ＋１３

ⅱ）a≦－２≦a＋２⇔－４≦a≦－２のとき
　Ｍ(a)　＝？？？　　←aとa+２のどちらが最大値になるか不明
　ｍ（a）＝－３

ⅲ）－２＜aのとき
　Ｍ(a)　＝ａ^2＋８ａ＋１３
　ｍ（a）＝ａ^2＋４ａ＋１

以上からｍ（a）のグラフはかけたのですが、ⅱ）のＭ(a)が不明なため最大値のグラフがかけませんでした。ⅱ）はどう考えたらよいのでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

グラフを書いて考えよう。
ａ≦－２≦ａ＋２　⇔　－４≦ａ≦ー２のとき
というのは、定義域の中に放物線の軸ｘ＝－２が入っているときを考えているわけですよね。
で、定義域の中心はａとａ＋２の真ん中で{ａ＋(ａ＋１)}/２＝ａ＋１ですね。
グラフにおいて、
（１）　放物線の軸ｘ＝－２が定義域の中心より右側にある場合　ａ＋１＜－２≦ａ＋２
（２）　放物線の軸ｘ＝－２が定義域の中心になっている場合　ａ＋１＝－２
（３）　放物線の軸ｘ＝－２が定義域の中心より左側にある場合　ａ≦－２＜ａ＋１
のように場合わけして、それぞれのときにｙの最大値がｘ＝ａのときなのか、ｘ＝ａ＋２のときなのかを考えてみよう。
なお、（２）のａ＋１＝－２の場合というのは、（１）か（３）のいずれかに含ませて良いことに気づくでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧な解説、大変参考になりました。

回答No.3

nettiw

Ｍ(a)とｍ（a）の場合わけは、
全く別にやった方が良さそうです。

>>f(x)=(x^2)+4x+1 (a≦x≦a+2)
>>最大値をＭ(a)
>>b=Ｍ(a),
>>f(x)=(x^2)+4x+1=｛(x+2)^2｝-3
>>頂点(-2,-3), 軸 x=-2
>>f(a)=(a^2)+4a+1=｛(a+2)^2｝-3
>>f(a+2)=(a^2)+8a+13=｛(a+4)^2｝-3

Ｍ(a)だけで場合分け。

（１）　(a)と(a+2)の中点が軸より左側の場合、
　　　　( (a)+ (a+2) )/2＜-2
　　　　　　　　　　　→　a＜-3　の　ときは、
　 ――中点――(-2)――
軸から遠いのは、(a)だから、　　　　
　　　　Ｍ(a)=f(a)=｛(a+2)^2｝-3

（２） (a)と(a+2)の中点が、軸(-2)一致する場合、
　　　( (a)+ (a+2) )/2＝-2
　　　　　　　　　　→　a＝-3　の　ときは、
　　　　　　――――(中点＝-2)――
　　　(a)と(a+2)の軸からの距離は同じだから、　　　　　　
　　　　　　　Ｍ(a)=f(-3)=9-12+1=-2
　　　　　　　Ｍ(a)=f(-1)=1-4+1=-2

（３）　（a）と(a+2)の中点が軸より右側の場合、
　　　　-2＜( (a)+ (a+2) )/2　
　　　　　　　　　　　→　-3＜a　の　ときは、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　――(-2)―中点――
　　軸から遠いのは、(a+2)だから
　　　　　　　Ｍ(a)=f(a+2)=｛(a+4)^2｝-3

------------

b=Ｍ(a)のグラフは、

　　　　　　　　●　　　　　　　　　　　　●　　　　　　　←　＋１

―――――(-4)●――(-3)――●(-2)――――(a)
　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　↑
　　　　　　　－２－√３　　　　－４＋√３

　　　　・　　　　　　　　　　●←　　　　　　　　　　　・　←　－２　　　　

　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　←　－３

お礼

回答ありがとうございます。
おっしゃる通り、場合わけは別々にやった方がすっきりしそうです。参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

abyss-sym

さらに細かく場合分けしましょう。
a≦-2≦a+2をさらに場合分けして
a≦-2≦a+1 と a+1＜-2≦a+2 にします。
そうすると見えてくると思いますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに見えてきました。ありがとうございます。