関数の問題

質問

解らないところがあるので、教えてほしいです。

f(x)=x^2+2x+1がt≦x≦t+1の範囲であるときの最大値をM(t)、最小値をm(t)とする。
M(t)-m(t)=1/4になるときの、tの範囲を求めよ。

f(x)=0とおいて、xの範囲を出すまでは、解ったのですが、それから先が解らないので、教えてもらえたら助かります。
宜しくお願いします。

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

又、後から使えるかもしれないんで、書いとくか。。。。。笑

f（x）＝（x＋1）＾2とすると、これは下に凸の2次関数で、軸がx＝-1.閉区間[t、t＋1]が、軸の右か、左か、
或いは頂点（-1、0）をまたぐか、それらを考えた上で、場合分けは、4つ発生する。

先ず、あらかじめ計算しておくが、f（t）＝（t＋1）＾2、f（t＋1）＝（t＋2）＾2.　　　Ｎ＝Ｍ-ｍとすると
（1）t+1≦-1　即ち、t≦-2の時 Ｍ＝f（t）、ｍ＝f（t+1）より　Ｎ＝Ｍ-ｍ＝-2t-3
（2）t≧-1の時 Ｍ＝f（t+1）、ｍ＝f（t）より　Ｎ＝Ｍ-ｍ＝2t+3
（3）t≦-1≦t＋1　即ち-2≦t≦-1の時　m＝f（-1）＝0は変わらないが、最大値については変動する。
f（t＋1）-f（t）＝2t+3 であるから、その値が大さいほうが最大値となる。
・2t+3c≧0　の時、f（t＋1）≧f（t）よりＭ＝f（t+1）であるから、Ｎ＝Ｍ-ｍ＝（t＋2）＾2
・2t+3≦0　の時、f（t）≧f（t＋1）よりＭ＝f（t）であるから、Ｎ＝Ｍ-ｍ＝（t＋1）＾2

以上から
t≧-1の時、Ｎ＝Ｍ-ｍ＝2t+3
-3/2≦t≦-1の時、Ｎ＝Ｍ-ｍ＝（t＋2）＾2
-2≦t≦-3/2の時、Ｎ＝Ｍ-ｍ＝（t＋1）＾2
t≦-2の時、Ｎ＝Ｍ-ｍ＝-2t-3

この4つの場合の中で、Ｎ＝1/4となるのは、グラフを書いてみると直ぐ分るが、t＝-3/2の時。

お礼

ありがとうございました。解決しました。

回答No.3

proto

ん？xの範囲を出す？
本当にわかって言ってますか？

まずはイメージを掴むためにもy=f(x)のグラフを描きましょう。
そのためにf(x)を平方完成しましょう。

y=f(x)は頂点が(-1,0)で下に凸の放物線ですね。
で、t≦x≦t+1の範囲で最大値、最小値を考えるわけです。

下に凸の２次関数が最小値を取るときには二つのパターンが考えられますね。
一つは区間の中に頂点を含む場合に、最小値は頂点のy座標。
二つめは区間の中に頂点を含まない場合に、最小値は区間の端っこでの値。

それぞれの場合に分けて考えれば良いのです。ですからt≦x≦t+1の中に頂点が含まれる場合と、含まれない場合で場合分けしてください。
これくらいの2次関数なら最大最小は直ぐに求まるので、最大値から最小値を引いて条件に当てはめてください。

おそらくグラフを描けばほぼわかる問題だと思います。
ようは2次関数y=f(x)は固定で、幅が1の区間が動くとき最大最小はどうなる？という問題です。
区間をじわっと動かして考えるだけなので簡単ですよ。

お礼

グラフからイメージできました。
ありがとうございます。

回答No.2

take_5

この手の問題の質問が後を絶たない。考え方に、難しくはないが、面倒なところがあるからだろう。
同じような問題で、他の人の質問に答えた回答があるので、何度も書き込むのは面倒なので、それを使ってくれ。
そのＵＲＬを貼っておく。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4113113.html

2次関数で、上に凸か、下に凸かの違いはあるが、考え方は全く同じ。
それでも分らなければ、再度質問して欲しい。

お礼

解く良いヒントになりました。
ありがとうございます。

回答No.1

Quattro99

私が何か勘違いをしているのかも知れませんが。

> f(x)=0とおいて、xの範囲を出す
これは何をしているのですか？ xの範囲はt≦x≦t+1と指定されていると思うのですが。

また、求めるのはtの「範囲」なのですか？ 特定の値になるように思うのですが。

お礼

すいません。
勘違いしていました。
ありがとうございます。