合成関数のグラフの書き方

質問

f(x)=x^3-xとして、y=f{f(x)}の書き方の方針を教えてください。ものすごく間が多いグラフになっていましたがよくわかりません。たぶん、このグラフは山が(9-1)=8個になると思います。

回答にはf(x)=x^3-x(のグラフを書き)を区間に分けて減少しているところ、増加しているところなどに着目していました。・・・・・(1)

自分でやったことは縦軸をy横軸をf(x)のグラフと縦軸をy横軸をxのグラフの2つを書き横軸をxに変換しようと思いましたがわかりません。(これで最初のほうの問題は解けました)。回答では(1)に着目して当たり前のように変換していました。

どうやって横軸をf(x)からxにするにはどうすればよいのでしょうか。その結果すごくギザギザ(山が多い)グラフになるのはなぜでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.4

arrysthmia

#1です。
計算間違いがありました、恐縮です。

z = x^3 - x と z = -1/√3，
z = x^3 - x と z = 1/√3 の交点は、それぞれ
３点づつではなく、１点づつでした。
x^3 - x の極大値が 1/√3 よりも小さいので、
こうなります。

このため、x の範囲は８点ではなく
４点で区切られることとなり、
y = f(f(x)) のグラフは、計４個の山頂谷底を持ちます。

機械的に 微分→増減表 とするのでなく
f() の反復をグラフでとらえようとした考え方は、
素晴らしいと思います。
そう言いながら計算違いでは、説得力不足ですが。

回答No.3

info22

#2です。
虚数解のi(虚数単位)が抜けていましたので
訂正しておきます。
＞虚数解が
＞x≒±0.60732±0.32634の4個となります。
x≒±0.60732±i 0.32634 の4個となります。

この問題ではあえて虚数解を書いたのは他に実数解がないことを質問者さんに理解しやすいように書いただけですから、グラフを描いたり極大、極小を調べるのには求める必要はありません。

なお、参考URLのフリーソフトのグラフソフト「FunctionView」などを使ってプロットすれば納得できるでしょう。
同ソフトで関数にそのまま「(x^3-x)^3-(x^3-x)」と入れ込むだけでグラフを書いてくれます。

参考URL：

http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/

回答No.2

info22

y=f(x^3-x)=(x^3-x)^3-(x^3-x)
=x(x-1)(x+1)(x^3-x-1)(x^3-x+1)=g(x)
このグラフのX軸との交点は
x=0,x=±1,x≒±1.324718の5個のみです。

実際にg(x)=0の解を求めて見ると
実解が
x=0,x=±1,x≒±1.32472の5個
虚数解が
x≒±0.66236,　x≒±i 0.56228の4個
の合計9個になります。

y'=g'(x)=3{x^2-(1/3)}(3x^6-6x^4+3x^2-1)
g'(x)=0の解を求めて見ると
実解が
x=±1/√3≒±0.57735,x≒±1.21463の4個だけで
虚数解が
x≒±0.60732±0.32634の4個となります。

これらから増減表を描けると思います。
x＜-1.21463,-1/√3＜x＜1/√3,1.21463＜xでg'(x)＞0で単調増加
-1.21463＜x＜-1/√3,1/√3＜x＜1.21463g'(x)＜0で単調減少
となりますね。
ここにはグラフがかけませんが
x=-1/√3≒-0.57735とx≒1.21463で極小値
x=1/√3≒-0.57735とx≒-1.21463で極大値
をとることがわかります。

回答No.1

arrysthmia

貴方がやったのは、
　y = f(z) のグラフと
　z = f(x) のグラフを見比べて
　y = f(f(x)) のグラフを描こうとした
ということですね？ それでよいのだと思います。
解答の文章で「(1)に着目して当たり前のように」
省略されている考え方の中身は、きっとそんな感じです。

まず、f(x) の増減を調べます。
　x < -1/√3 では、f(x) は単調増加
　-1/√3 < x < 1/√3 では、f(x) は単調減少
　1/√3 < x では、f(x) は単調増加
です。これは、f ' (x) の正負を調べればわかる。

これを使って、y = f(f(x)) の増減を調べるのですが、
右辺外側の f() が増加か減少かを知るためには、
右辺内側の f() の値が
　f(x) < -1/√3
　-1/√3 < f(x) < 1/√3
　1/√3 < f(x)
のどの区間に入っているか がわかればよいですね。

z = x^3 - x のグラフに
z = -1/√3 と z = 1/√3 の２本の直線を描き込んでみると、
それぞれ３点づつで交わることがわかります。
この６個の交点と、最初の x = ±1/√3 との
計８点で x の範囲を区切ると、区切られたそれぞれの区間では
f(f(x)) は単調増加 または 単調減少 になります。

９個の区間のうち、１個だけやってみましょう。
x = 0 を含む区間では、
z は単調減少で、-1/√3 < z < 1/√3 の範囲に入っています。
x が 0 の近くでほんの少し大きくなると、
z は 0 の近くでほんの少し小さくなりますから、
y は 0 の近くでほんの少し大きくなります。
つまり、この区間で f(f(x)) は単調増加です。

他の８個の区間でも同じようにやってみれば、
グラフが４個の山頂と４個の谷底を持つことがわかります。