運動量方程式とは

質問

質点（その集合としての剛体でも）の運動を記述するのに、
１．ニュートンの運動方程式
２．それから誘導されるエネルギー保存式
があります。
さらに運動量保存方程式というものがあります。
運動量方程式を使うのは、バットにボールが衝突して飛んでいくというような問題に使われると思います。この場合、エネルギー保存は成立しないということになっています。
運動量保存式は、力積＝運動量の変化であり、
力積＝力×作用時間です。両辺を作用時間で割り、極限操作をすると、
力＝質量×加速度となり、運動方程式そのものになります。ということは、運動方程式＝運動量方程式＝エネルギー保存というように見えてしまいます。

エネルギー保存が成立しなくても運動量保存は成立するというところで運動量方程式＝エネルギー保存という考え方が成立していないということで矛盾となります。エネルギーが保存されなくても運動量はどうして保存されるのでしょうか。どのように考えるのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.6

daijinsn

そういえばハミルトン形式は知ってますか？
解析力学の教科書の後ろの方に載ってると思うんで暇があればさくっと読んでみたら、参考になると思います。

回答No.5

daijinsn

ＮＯ．４です。断りますが、僕は単なる物理専攻の大学生なので間違ってる恐れもありますからね。
＞バットとボールの例はそのような情報がないので当然、保存されないですし、運動方程式を睨んでいても損失量は計算されません。しかし、摩擦項を付加した運動方程式の場合、それによるエネルギー損失が式として計上されると思います。
というのはどのような条件（近似）で解くかによりますけど、そー思っていいと思います（結構微妙な問題です。変形したら…）。まーそれは反発係数に入ってる情報と思えばいいんじゃないかな。
あ、そいえば。エネルギー保存は（運動方程式を）位置で積分すれば得られます。っていったんですけど、これだと逆演算（微分）したら元にもどれるから、エネルギー保存と運動方程式は同値だ、っていう風にもとれますね。
アハハ。ミスです。
ミスと言ったけどいくらかは正解で、１つの物に注目してエネルギー保存の式を書いてそれを位置で微分したら運動方程式が得られますね。そーゆー意味でエネルギー保存と運動方程式（かつ初期条件）は同値ですね。
＞減耗していくエネルギーも運動方程式を使って評価できる
というのはそーゆー意味で正しいと僕は思います。
けどミスと言ったのはエネルギー保存は多体系についても書けますよね。２体の場合について話すと
この場合、運動方程式を２つ書いて、足して、位置で積分すれば、エネルギー保存の式になりますね。
この式から運動方程式が２本導ければ、エネルギー保存則と運動方程式は同値だと言えますね。
しかし、運動方程式を導くにはエネルギー保存だけでは無理ですね。
方程式を足したときに内力の項は消えてますし、消えなくても、連立方程式の同値性を考えたら明らかですね。
したがって同値ではありません。けど、
＞運動方程式がエネルギーの増減までもコントロールしていると言える
とは、ぼくも思います。
着眼自体は非常にいいと思います。というのも、このような考えはラグランジュ形式などにつながっていくと思います。
ニュートン力学を学んでる段階ですよね？公理（運動の３法則）に帰納されていくことが僕はおもしろかったなー。すごいですよねー。身のまわりの、運動は全部３つに帰納されるなんてー。
がんばってください。

お礼

回答、有難うございました。
だいぶ時間が空いていますが、まだ考えています。
運動方程式とエネルギー方程式が同値というのはやはり言い過ぎですね。運動方程式からエネルギー方程式が演繹されるけれどもその逆はない、わけですから。

X=A+B, Y=A-B →　X+Y=2A となりますが、矢印は逆を向かないですね。
組み合わせは無限にあるでしょう。

回答No.4

daijinsn

野球の例ですが、ほんとに全部のを足したらエネルギーは保存してますよ。本当に全部っていうのは皆さんが言われてるようにバットにあたったときの音や変形や発熱、人のした仕事などによるものです。
問題を解く際にそんなもんはあたえられてないですし。

保存量についてですが、方程式と等価と言うより対称性（時間と空間の一様性）に起因します。

運動方程式から保存則を導くのなら
エネルギー保存は位置で積分すれば得られます。
運動量保存はｎ体問題ならそれぞれ運動方程式を足して作用反作用の法則をつかって、外力＝０の条件の下で時間で積分すると得られます。

結局、運動方程式＝エネルギー保存ではないですねー。

お礼

有難うございます。
エネルギー保存というのは量として一定という意味のほかに、減耗していくエネルギーも運動方程式を使って評価できるという意味です。
バットとボールの例はそのような情報がないので当然、保存されないですし、運動方程式を睨んでいても損失量は計算されません。しかし、摩擦項を付加した運動方程式の場合、それによるエネルギー損失が式として計上されると思います。貯金をおろして使ったのだから、預金量が減るとすると、おろした額面と預金量の減少が一致していれば、説明がつきその意味で保存が成り立っていると言えると思います。
そのような場合は運動方程式式がエネルギーの増減までもコントロールしていると言えると思います。衝突とか複雑な現象は全くそのようなことはないと思いますが。

回答No.3

BookerL

＞エネルギーが保存されなくても運動量はどうして保存されるのでしょうか。

　エネルギーが保存されないことはあり得ません。ここで質問されているのは「力学的エネルギー」が保存されなくても、ということでしょう。

　摩擦や空気抵抗がある運動や、変形・発熱等を伴う衝突などでは力学的エネルギーは保存されません。しかし変形した物体では、分子間の位置エネルギーが増えており、発熱では、分子の運動エネルギーが増えており、いずれもエネルギーは保存されています。

　マクロな立場で考えると分子の運動エネルギー・位置エネルギーは物体の運動エネルギー・位置エネルギーとしては認識されませんので、「力学的エネルギー」は保存されないことになります。しかし、運動方程式を個々の分子に適用して考えれば、衝突の場合でもエネルギーが保存されています。したがって、

＞運動量方程式＝エネルギー保存という考え方が成立していない

ということはないといえるでしょう。

※「運動量方程式＝エネルギー保存」という表記には違和感がありますが。

回答No.2

fine001

ニュートンの運動方程式は　ma=F　と書かれることが多いですが、運動量をP(=mv)と書くと、dP/dt＝F　となります。即ち、「運動量の時間的変化が働く力である」と言うことになります。あと1段変形するとdP=Fdtです。
この式は、質問者が「運動量保存式」と言われている式です。運動量保存式という名称を、私は聞いたことがないのですが、この式は一般に言われる運動量保存則ではありません。なぜなら、「保存する」とは、ある状態と別の状態である種の物理量が「変化しない」ということと同義だからです。この式は運動量の変化について書かれている式です。
2つの物体が衝突する場合などは、衝突の間に2物体間に働いている力は、作用反作用の法則（第3法則）から同一直線上にあり向きは反対で大きさは等しい訳です。また、2物体に力が働いた時間も当然共通ですので等しい、即ち、2物体がそれぞれ受けた力積が向きが正反対で同じ大きさと言うことになるわけです。２つの物体についての運動量の変化を表す式から、力積を消去すると、衝突前の2物体の運動量の和と衝突後の運動量の和が等しいと言う結果が導かれます。これが、いわゆる運動量保存則です。この法則が成立する前提条件は、働く力が衝突する2物体間に働く力に限られると言うことです。この様な力を内力と呼びます。2物体以外からの力、即ち外力が働かないと表現することが多いです。
したがって、2物体以外からの力がないときに、それぞれの運動方程式から力を消去した形での表現を運動量保存則と呼んでいると言うことになります。
一方、力学的エネルギー保存則は、外力が働いている状況を考えるのが一般的です。たとえば、外力が働かないと静止していた状態から、速さを持った状態まで変化することはありません。運動エネルギーが変化するときには外力が必要です。ただし、この外力が「保存力」といわれるものでないといけないのです。重力やバネの力は保存力ですから、これらが働いていているときは力学的エネルギーは保存します。摩擦力は非保存力ですので、摩擦力が働く場合は力学的エネルギーは保存しません。
ある物体に、弾丸が突き刺さるような場合、物体と弾丸の間には摩擦力が働きます。この摩擦力は、物体と弾丸の間に働くのですから、物体と弾丸をあわせて考えると内力です。したがって、運動量保存則は成立します。しかし、摩擦力が働いているので力学的エネルギーは保存しません。

お礼

回答、有難うございます。かなり時間が開きましたが、まだ考えています。

ある量の保存というとき、その量が一定であるというのは理解できますが、さらに解釈を広めて増減する量を評価でき、それに従ってその量が増減してもそれは保存が成り立っていると解釈します。少なくとも等号を使った式で表記できます。私は保存という概念をそのように解釈しています。

回答No.1

Denkigishi

「エネルギー保存式がニュートンの運動方程式から誘導される」と書かれていますが、誘導されるのは運動エネルギーの式（mv2)/2であって、保存則ではないと考えます。力学的エネルギーの保存とは運動エネルギーと位置エネルギーの総和が普遍という法則です。