～運動方程式→エネルギーand運動量保存則？～

質問

僕は大学入試に向けてちょっとだけ頑張ってる受験生なのですが、（笑）
運動方程式等に関して質問があります。

ある先生に聞いた話なんですけど、
『エネルギー保存則も運動量保存則も運動方程式が元であり、変形したり積分したりすれば運動方程式から導くことが出来る』んですよね？？

だから気になって、ホントかな～と思っていろいろ変形してたら

　　ｍａ＝Ｆ
　　ｍ(Δｖ/Δｔ)＝Ｆ
　　ｍΔｖ＝ＦΔｔ

『おぉ、これは確かに力積とか運動量保存則っぽい！』
ってなったんですけど、これは正解でしょうか？

また、エネルギー保存則はどうやって導くのでしょうか？
これはまったくわからないんです！どなたか教えてください。
よろしくお願いします。m(_ _)m

回答No.4

brogie · ベストアンサー

おはよう御座います。いろいろ回答されているようですが、
gedo-syosaさんの先生が仰っているのは、
次のようなことではないでしょうか？

運動方程式（v,r,Fなどはベクトルです）
外力が働いていない時は（F＝0）
mdv/dt＝0
両辺をt1からt2まで積分して
∫m(dv/dt)dt＝0
∫mdv＝0
mv2ーmv1＝0
mv2＝mv1
これは運動量保存則です。

同様にして
運動方程式（v,r,Fなどはベクトルです）
mdv/dt＝F・・・・・・・・・（１）
この両辺にvをかけて
mvdv/dt＝Fv・・・・・・・・（２）
変形して
(m/2)(dv^2/dt)＝Fdr/dt・・・（３）
両辺をtで積分して
∫(m/2)(dv^2/dt)dt＝∫(Fdr/dt)dt・・・（４）
∫(m/2)dv^2＝∫Fdr・・・・・・・・・・・（５）
(1/2)mv^2[v1からv2]＝外力Fがした仕事・・・（６）
(1/2)m(v2)^2ー(1/2)m(v2)^2＝外力Fがした仕事・・・（７）
この（７）式はエネルギー保存則です。

後はご自分で考えてください。

お礼

＞∫mdv＝0
＞mv2ーmv1＝0

これってよく置換積分でやる、

　　ｔ ｜ ｔ1→ ｔ2
　　----------
　　ｖ｜ ｖ1→ ｖ2

みたい事をしてるんですよね？
物理って言うより数学の質問ですが（笑
数学も苦手なもので・・・。すいません。

＞後はご自分で考えてください。

じっくり、ゆ～～っくりと考えてみます。

回答No.6

hagiwara_m

皆様よりの回答で大事なところは尽きていますが、昔は物理(の出来の悪さ)に悩む生徒、今は学生から質問を受ける立場の者として、少し補足コメントさせて頂きます。

運動方程式は、位置の２階微分量である加速度に関する方程式ですから、微分方程式の一種です。微分方程式は、一般に積分型に直して考えることもできます。質点の運動方程式の積分型が、あなたの導かれた「運動量の変化＝力積」という式なのです。ただ、皆さんがおっしゃっているように、これは保存則ではありません。保存則というのは、時間と共に変化する現象の中でも、ある量を工夫して計算するとそれは変わらずに保たれている、こういうときに使われる表現です。質点系の力学というのを勉強されると、系の運動量保存に関する皆さんの説明がよく分かるようになるでしょう。

力学的エネルギー保存則は、運動方程式の右辺を決める力の関数形がある条件を満たすときにだけ導かれます。その条件は、力(ベクトル)が、位置の関数としてのあるスカラー関数(ポテンシャルエネルギーと呼ぶ)の(-)勾配になっているということです。こういう場合には、運動の能力を、位置エネルギーという運動以外の形に変換し、そしてそれをまた運動の形に戻すということが可能になります。これを保証するために、同じ条件下では同じことが繰り返し起こり得るという仮定が必要で、これが、時間の一様性という性質に深く結びついています。

このようなことは大学の授業で詳しく扱われるはずですが、物理学科以外では、大学により、また教官により、扱い方は随分違うと思います。最近は、基礎的なことを時間をかけて深く考えるような教え方は好まれないというような風潮もあり、個人的に、日本の科学・文化の将来に危惧を抱いております。あなたのような、自分で考えることの好きな方に是非期待したいものです。

お礼

＞微分方程式

これはよく耳にする言葉なのですが、数年前から高校では扱わなくなってしまったらしくて・・・。まぁとにかく微分するんですよね？（＾＾；

・・・あぁ～、難しいですねぇ。
大学に行ったらもっとよく勉強します。

＞最近は、基礎的なことを時間をかけて深く考えるような教え方は好まれないというような風潮もあり、個人的に、日本の科学・文化の将来に危惧を抱いております。あなたのような、自分で考えることの好きな方に是非期待したいものです。

しっかりと勉強してノーベル賞とか、ぜひ狙いたいです。（爆
将来、受賞できるように一生懸命頑張ります！（笑

回答No.5

siegmund

>> ポテンシャルエネルギー
> なんですかそのカッコいい名前のエネルギーは・・・。

ポテンシャルエネルギーは位置エネルギーと同じことです．
ポテンシャルとは潜在的能力と言うような意味です．
物体を高いところに持ってゆくと位置のエネルギーを持ちますが，
物体自体は変化していません．
そういうわけでポテンシャルエネルギーというのです．

> 僕は化学科を目指してるんですけど、そういう事は詳しくやりますかね？
> 物理化学とかいう分野もあるそうですけど・・・・。
物理化学はちょっと話が違います．
やるなら，「力学」「解析力学」というような授業でしょう．
化学科で「力学」「解析力学」がカリキュラムに入っているかどうかは，
大学によると思います．

お礼

＞ポテンシャルエネルギー

なるほど、位置エネルギーのことでしたか～。
教えていただいてどうもありがとうございます。m(_ _)m

＞やるなら，「力学」「解析力学」というような授業でしょう．

化学なのに力学ってのがあるんですか！
やっぱりなんか高校とはレベルはちがいますね～。
物理も化学も生物も混ざってる所が、結構あるようで。

回答No.3

siegmund

鵜呑みにせず自分で考えようという姿勢がなによりすばらしいですよ．

さて，gedo-syosa さんの導かれた
(1)　　ｍΔｖ＝ＦΔｔ
はそのとおりで，「運動量変化は力積に等しい」という法則ですね．
そうです，この法則は運動方程式だけから導けるんです．

では，運動量保存則は？
詳しい話は motsuan さんが書かれていまので，
地上付近の自由落下という簡単な例を考えてみましょう．
運動方程式は
(2)　　ma = mg
で，初期条件を t=0 で v = 0 とすると
(3)　　v = gt
ですから，落下速度がどんどん速くなりますね．
つまり，運動量は保存されない．
簡単な例ですが，運動方程式だけから運動量保存則を導くことはできないことを
示しています．

もちろん，地上付近の重力の起源は物体と地球との万有引力にあるわけで，
物体と地球を両方ともきちんと考えてやると，
両者の運動量を合計したものは保存されることを示すことができます．

運動量の場合と同様に，
エネルギー保存則も運動方程式だけから導くことはできません．

では，こういう保存則は運動方程式の詳細によるかというと，
そうではなくて，空間や時間の対称性と関係していることが知られています．

対称性と保存量の間の関係は大学の物理学科の２年くらいの内容です．
理工系の基礎教育の物理のレベルですと，やらない場合が多いようです．

お礼

＞地上付近の自由落下という簡単な例を考えてみましょう．

わざわざ例を出していただいてありがとうございます。
・・・が、例は簡単でも話は難しいですねぇ。（笑
あとでもう一度じっくりと読んでみます。

＞対称性と保存量の間の関係は大学の物理学科の２年くらいの内容です．
＞理工系の基礎教育の物理のレベルですと，やらない場合が多いようです．

僕は化学科を目指してるんですけど、そういう事は詳しくやりますかね？
物理化学とかいう分野もあるそうですけど・・・・。

回答No.2

motsuan

運動量保存の法則は
作用反作用の法則と運動方程式を組み合わせたものです。
なんでそんな組み合わせをもってくるかというと、
というか前提なのですが、この法則は系のなかで力を及ぼしあって、
他からは力が加わらない場合に、その系では運動量と呼ばれる量が保存されると言う法則です。
したがって、さんが１個の質点についていくら考えてもこの法則は導かれません。
（ただし、導出の途中まではそのとおりです。）

運動量保存の法則は

　系の全運動量
　　　ｐ＝Σｍ(i) ｖ(i)
　（ｍ(i)、ｖ(i)はそれぞれi番目の質点の質量、速度（ベクトル)）の時間変化
　　　ｄｐ/ｄｔ＝Σｍ(i) ｄｖ(i)/ｄｔ＝Σｍ(i) a(i) = ΣF(i)
　（a(i),F(i)はi番目の質点の加速度とかかる力）を考えると、
　お互いに力を及ぼしあっているから、作用反作用の法則より
　　　ｄｐ/ｄｔ　= ΣF(i)　＝　０
　となって、ベクトル量 ｐ の時間変化はありません。つまり、系全体の運動量が保存　されます。

という法則です（０の積分ですね）。つまり、運動方程式だけから導かれるわけではありません（運動方程式は力の起源や性質について説明していない）。系全体の運動量という概念がわからないと、はたして、これは運動量保存の法則を使うのか、エネルギー保存の法則を使うのか分からなくなるのではないでしょうか？

エネルギー保存の法則も、エネルギーの式を書き下して、その式の座標の意味を考えながら時間変化をみると０となって、エネルギーが保存されていることが分かります。この場合、たとえばポテンシャルエネルギーを考えたとき、反作用とか考えなくてもいいですよね。つまり、１個の質点について考えることができます（本当は反作用がポテンシャルの元になるものにも働いているはずですが普通はその質量を無限大としているため、はじき返されると考えます）。（運動する方向への積分になっています。）

お礼

ぬぅ・・・。難しそうですねぇ～。
こんなの自分で考えて導けるはずもありませんでしたね。（爆
なんかシグマとか出ちゃってるじゃないですか。（＾＾；

今、ちょっと時間がないので後ほどじっくり見させていただきますね。

＞ポテンシャルエネルギー

なんですかそのカッコいい名前のエネルギーは・・・。
運動エネルギーと位置エネルギーと弾性エネルギーしか知りませんよ（笑

回答No.1

kexe

なつかしいですね～
僕も大学は物理で受験したので
このへんはよよくなやまされたところなんです

gedo-syosaさんの変形、間違ってないですよ

エネルギー保存則は普通に微分するといいんです
つまり運動エネルギーを時間について微分するとどうなるでしょうか？

あとなかなかいいページ見つけたので
参考URLにいれておきます。暇があったら読んでみてください

じゃあと数ヶ月ですかね、がんばって！

参考URL：

http://doraneco.pos.to/physics/column/bisekig.html

お礼

＞僕も大学は物理で受験したので

僕は化学と物理、両方で受験するんですよ。
両方ともどちらかというと苦手ですけど（＾＾：

＞参考URL

ありがとうございます。
あとで見させていただきますね。

＞じゃあと数ヶ月ですかね、がんばって！

はい、頑張ります！！