運動エネルギーと運動量の矛盾

質問

運動エネルギーは速度の2乗に比例します。2倍の速度に加速させるには4倍のエネルギーが必要と言うことです。
それに対し運動量は速度に比例します。2倍の速度に加速させるには2倍の力積が必要と言うことです。
では、質量1で速度1の物体Aと質量2で速度1の物体Bがあります。与えた運動エネルギーはAは1とBは2で合わせて3になります。運動量はAは1、Bは2です。AとBを衝突させます。すると、力積が伝わってBは止まり、Aは2の速度で跳ね返されます。この時の運動エネルギーはBは0ですが、Aは4になっています。最初与えたエネルギーは3ですが、衝突後のエネルギーは4になり増えたわけです。運動エネルギーをエネルギーとして取り出せれば、入力より出力が上回るおかしな結果となります。
これが運動エネルギーと運動量が別物とすることで起こる矛盾です。
この説明でおかしな所はありますか？

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No.4の補足について考察してみました。

ha5050 の説の根底には 同じ重さの A と B が速度 v, -v でぶつかると
速度が反転して -v, v になるのだから、Bを重くすれば、Aの衝突後の
速度の絶対値はは |-v| より大きくなるだろう ということみたいですね。

ここまでは正しいのですが、ha5050 の説ではこれを無根拠に「2倍」に
しています。しかしこれでは運動エネルギーが過剰になってしまいますし、
運動量保存則(作用反作用の法則)も満足していません。
つまりニュートン力学を無視した直感による結論にすぎません。

実際には、運動量保存則が成り立ち、衝突によるエネルギー損失が無いと仮定して
計算します。

運動量保存即
m・v - 2・m・v = va・m + 2・vb・m (va, vb は衝突後の A, B, の速度)
⇒ -v = va + 2・vb

(1/2)・m・v^2 + m・v^2 =(1/2)・m・va^2 + m・vb^2
⇒ 3・v^2 = va^2 + vb^2

これを解くと va = -(5/3)・v, vb = (1/3)・v

となります。つまり B は止まらず 1/3 の速度で跳ね返されます。
また A は2倍より少し少ない 1.666666 倍の速度ではねかえされる
ことになります。この時運動量保存則とエネルギー保存則の両方が
成り立ちます。

お礼

運動量と運動エネルギーが保存される値を導き出せばいいんですね。
納得しました。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

ついでに B の質量を n 倍として解いてみました。

va = (-3・n + 1) / (n + 1) ・v
vb = (-n + 3) / (n + 1) ・v

n = 1 ⇒ va = -v, vb =v
n = 2 ⇒ va = -(5/3)・v, vb = (1/3)・v
n = 3 ⇒ va = -2・v, vb = 0
n = 5 ⇒ va = -(7/3)・v, vb = (1/3)・v

n=3 の時、ha5050 の説と値が一致しますね。

ちなみに n ⇒∞　では va = -3・v です。

結構おもしろいですね。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

No.9 ですが間違いがありました
>3・v^2 = va^2 + vb^2
3・v^2 = va^2 + 2・vb^2

後は合ってます。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

>今度は片方を重くして衝突させて見ます。
>すると重い方の台車は跳ね返されようとしますが進もうとする力も増えているため
>跳ね返されず止まります。しかしバネは縮められたままで戻ろうとする力で軽い台車を押します。
>軽い台車のバネの戻る力も加わるため軽い台車は2倍の時間押されることになります。

もし、バネが適度にエネルギーを吸収して
熱に変換すれば、運が良ければBは止まり、 A は ２倍ではなく1倍 の速度で跳ね返されるでしょう。

衝突の際、A と B が受け取る力積は同じ大きさで方向が反対になります。
これは作用反作用の法則から導かれる単純な帰結です。

ha5050 さんの説では A が B の1.5倍の力積を受取りますが、理由を説明できますか？

回答No.7

foomufoomu

衝突の問題は、次のページの
http://www.geocities.jp/buturiyag3/03-03.htm
(3)式と(6)式を連立させて解くことができます。
今回は衝突で運動エネルギーが失われる(熱などに変換される)ことは無いという仮定だと思うので、(6)式のeは１になります。
また、衝突させるので、最初の速度は向きが逆（一方はー1)となり、

Ma*Va'+Mb*Vb'=Ma*Va+Mb*Vb
=1*Va'+2*Vb'=1*1+2*(-1)=-1

(Vb'-Va')/(Va-Vb)=1
Vb'-Va'=Va-Vb=2

これを連立して解くと
Va'=-5/3　　Vb'=1/3
が得られます。

このときのエネルギー 1/2*m*v^2 を計算すると、
衝突前
(1/2)*1*1^2 + (1/2)*2*(-1)^2 = 1/2 + 2/2 = 3/2
衝突後
(1/2)*1*(-5/3)^2 + (1/2)*2*(1/3)^2 = 25/18 + 2/18 = 3/2
で、変化はありません。

回答No.6

masa2211

>質量1で速度1の物体Aと質量2で速度1の物体Bがあります。与えた運動エネルギーはAは1とBは2で合わせて3になります。運動量はAは1、Bは2です。
この部分がダウト。
物体Aと物体Bは反対方向に動いているわけだから、速度は Ａが-1、Ｂが1　運動量はAが-1、Bが2、合計1　です。
このように、方向により＋と－になります。（運動エネルギーは、速度を２乗するから正負は関係ない。）
よって、衝突後は、たとえば、
・物体ＡとＢが合体し、速度は＋1/3
・物体Ａの速度が＋1でＢがゼロ
・物体Ａの速度が1.667でＢが-0.333
のように、運動量合計が1となる場合のみが起こることが可能です。
一個めが粘土玉の場合、３個めが鉄球の場合、中央はその中間なので、どれも起こる可能性あり。
どの場合も、運動エネルギーは衝突前と同じか減っています。

＞これが運動エネルギーと運動量が別物とすることで起こる矛盾です。
＞この説明でおかしな所はありますか？
上述のとおり、運動量保存則を無視しています。ですから、ありえない計算になっています。
で、完全に反発する場合、運動量保存則とエネルギー保存則の両方が成立する速度となります。
完全反発でない場合でも、運動量は保存されます。

お礼

物体Aは質量1速度2運動エネルギー4運動量2
物体Bは質量4速度-1運動エネルギー4運動量-4
合わせて運動エネルギー8運動量-2
これを衝突させると保存則からAの運動量-2、Bの運動量0となればいいんですよね。すると運動エネルギーはAは4でBは0。合わせて4と小さくなってしまいました。運動エネルギーが保存されていません。なりませんか？

補足

↓なりませんね。失礼しました。

回答No.5

htms42

＃３です。
＃２の補足についてです。

＞AとBが同じ質量で同じ速度で衝突した場合は互いの力積が入れ替わり跳ね返されますよね。
では、AとBの質量が1:2だった場合はどうかと言うと、衝突でAの力積がBに伝わります。Bの力積は2ですがそのうち1をAに伝えます。残りの1はAから受けた1の力積と打ち消しあいBは止まるわけです。止まることでの力積がAに伝わり、最初の力積と合わせて2の力積がAに伝わると考えました。

力積が入れ変わったり、伝わったりすることはありません。
力積は衝突に際して働く力の累積値です。
２つの物体の間に働く力の間には作用・反作用の法則が成り立っていますので
Ａに働く力の累積値とＢに働く力の累積値は常に等しいです。
ここから運動量保存則が出てきます。
Ａの運動量変化とＢの運動量変化は大きさが等しくて向きが逆になります。

運動量や力積という言葉を使うのであれば運動量保存則とはどういうものか、力積とはどういうものかをまず調べて下さい。イメージや思い込みだけで書いても意味のあるものは出てきません。

ついでにいくつか
・同じ速度で衝突
同じ速度で運動していれば衝突しません。同じ間隔を維持しながらの運動が続くだけです。速度と速さは異なります。速度は向きを考慮に入れた量、ベクトルです。運動量の保存則はベクトルとしての保存則ですから注意が必要です。
・速度の入れ変わり
速度が異なっていれば衝突が起こる可能性があります。
質量が同じ場合、速度の入れ変わりが起こる場合があります。
ただし条件があります。エネルギーが保存する場合です。エネルギーの保存しない衝突では速度の入れ変わりは起こりません。極端な例で言うとめり込んでしまうような衝突もあります。
速度の入れ変わりが起こるというのが印象深い結果ですので成り立つ条件があるというのに考えが及ばないようですね。この入れ替わりが起こるという事を「イメージの出発点」にして質量の異なる場合の衝突に話を持って行っているのですからエネルギーが保存しない、という結論を出そうとすること自体が無意味なことなのです。

お礼

物理のことも詳しくないし計算も苦手でよく分からないので、結局2つの物体の動きがどうなるか知りたいです。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

(1)>衝突でAの力積がBに伝わります。
(2)>Bの力積は2ですがそのうち1をAに伝えます。
(3)>残りの1はAから受けた1の力積と打ち消しあいBは止まるわけです。

(4)>止まることでの力積がAに伝わり、最初の力積と合わせて2の力積がAに伝わると考えました。

(1)～(3)で力積の収支は合いますが、(4)が余分ですね。(3)で打ち消しあったはずの力積が
(4)でなぜか復活してます。これが運動量が保存されない原因です。

(1)～(4)はニュートン力学では有りえない運動をニュートン力学に従った運動だと
無根拠にいいはっているだけなのでのニュートン力学の反例になりえず、
矛盾を導くこともできません。

以上です。

お礼

バネの付いた台車を使った実験で考えてみてください。
同じ重さの2台の台車を衝突させると前に取り付けられたバネが縮んだあと戻る力で衝突前と同じ速度で跳ね返されます。
今度は片方を重くして衝突させて見ます。すると重い方の台車は跳ね返されようとしますが進もうとする力も増えているため跳ね返されず止まります。しかしバネは縮められたままで戻ろうとする力で軽い台車を押します。軽い台車のバネの戻る力も加わるため軽い台車は2倍の時間押されることになります。力積が2倍になるということなので運動量も2倍で速度が2倍になるわけです。
この実験からも質量の大きい物体が止まった時質量の小さい物体が2倍の速度で跳ね返されることがわかりました。

回答No.3

htms42

＞質量1で速度1の物体Aと質量2で速度1の物体Bがあります。与えた運動エネルギーはAは1とBは2で合わせて3になります。運動量はAは1、Bは2です。AとBを衝突させます。すると、力積が伝わってBは止まり、Aは2の速度で跳ね返されます

高校の物理の教科書を見て下さい。
正面衝突の場合であれば練習問題になって出ているでしょう。

＞Bは止まり、Aは2の速度で跳ね返されます

これはどこで見つけてきたものでしょうか。
こんなのを書いてある本があって、その中に書かれていることをそのまま持ってきたものかもしれませんね。そうだとしたら、その本は捨ててしまって下さい。

運動量と運動エネルギーという言葉をどこかで見られたようですね。
エネルギーについては「エネルギー保存則」というのがあるというのはご存じだったようですが運動量にも「運動量保存則」というのがあるというのはご存じなかったようです。

衝突においてエネルギーは保存する場合も保存しない場合もありますが運動量は保存するというのも高校の教科書に出てきます。運動量の保存則の方がきつい法則なのです。

衝突はまず運動量保存則に合わせて考えます。
その結果を使ってエネルギーがどの程度保存しているかを確かめます。
エネルギーが保存しているとして出した結果と実際に観察される運動とのずれを考えれば保存の程度が分かります。
運動量保存則の式だけでは２つの物体の衝突後の速度は出てきません。
関係式が１つでてくるだけです。
この関係式を運動エネルギーの和の表現の中に入れて運動エネルギーが最大になるという条件を入れたとします。この最大値の問題を解くと２つの物体の衝突後の速度の値が求まります。その時の運動エネルギーの和の値は衝突前の運動エネルギーの和に等しくなっていることも出てきます。最大値を取らない時というのはエネルギーが減少する場合になります。その場合に対応する速度の値をエネルギーの表現の中に入れればどの程度エネルギーのロスが生じたかが分かります。エネルギーが増加する場合など出てきません。最大値の問題に対して解が求まるということは最大値を超えるような場面は生じないという事を表しています。

高校の物理でいいですからきちんと勉強して下さい。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>力積が伝わってBは止まり、Aは2の速度で跳ね返されます。

これどうやって計算されました？？？

AとBの速さが同じで衝突するとすると、方向が逆のはずですから、
Aの質量を m, Bの質量を 2m, Aの速度を v, Bの速度を -v とすると
衝突前後の運動量は

p前 = mv - 2mv = -mv, p後 = -2mv

で運動量が保存されません。

計算の手順や根拠を示してください。話はそれからでしょう。

お礼

AとBが同じ質量で同じ速度で衝突した場合は互いの力積が入れ替わり跳ね返されますよね。
では、AとBの質量が1:2だった場合はどうかと言うと、衝突でAの力積がBに伝わります。Bの力積は2ですがそのうち1をAに伝えます。残りの1はAから受けた1の力積と打ち消しあいBは止まるわけです。止まることでの力積がAに伝わり、最初の力積と合わせて2の力積がAに伝わると考えました。理解しがたい説明かも知れませんが、根拠もありません。

Aが2倍の速度で跳ね返されるのは確かだと思うんですが、仮に衝突後の動きが今言ってる通りだとすれば、質問した内容には間違ってる点はないと言うことですか？

回答No.1

misawajp

釣りですか　？
中途半端な知識の素人を煙に巻く手口の典型ですね

＞AとBを衝突させます。すると、力積が伝わってBは止まり、Aは2の速度で跳ね返されます

これがおかしい
Bは止まらないでしょう　Aは反対方向に2倍の速度にもならないでしょう

Aの方向転換と加速、Bの減速に大半のエネルギーが使用されます
衝突後の運動エネルギーは　？