角運動量

質問

位置ベクトルrの位置にいる質量mの質点に、中心力ポテンシャルV(r)=-k/r(k>0)より導かれる力F(r)がはたらいている。質点の運動量をp,角運動量をL,エネルギーをEとする。

ε=|ε|とする。
E = (mk^2)((ε^2)-1))/2|L|^2を示せ。

全くわかりません。　詳しい解説お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

ε=(（p↑×L↑）/mk)-(r↑/r)
か？

ε^2 = ((（p↑×L↑）/mk)-(r↑/r))・((（p↑×L↑）/mk)-(r↑/r))
=((（p↑×L↑）/mk))^2 -2(（p↑×L↑）/mk)・(r↑/r) + (r↑/r)^2
=(|p↑||L↑|/mk)^2 - (2/mk)(|L↑|^2/r) + 1
となる。

(mk^2)((ε^2)-1))/2|L|^2 = (|p↑|^2)/2m - k/r
となって、
これはEは全エネルギーになるのだ。

前の問題で
p↑・L↑ = 0
を証明した。なので、θ = π/2。
|p↑×L↑| = |p↑||L↑|sin(π/2) = |p↑||L↑|

(p↑×L↑)・r↑ = |L↑|^2
も証明した。

|p↑|^2 = m^2|v|^2
なので
(|p↑|^2)/2m = m^2|v|^2/2
となって運動エネルギー。

-k/rはポテンシャルエネルギー。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。