一般的な剛体の運動方程式

質問

1)一般に剛体とは「各質点の距離が不変」な物体で定義されると思うのですが、
運動方程式は、距離の定義にどのように依存するのでしょうか？
慣性モーメントの部分が変わるだけなのか、外積部分も変わるのか？
2)4次元Minkowski空間での上の意味での「剛体」は、
何かの物理的なモデルになっているのでしょうか？
3)N次元Riemann空間上での上の意味での「剛体」の運動方程式は、
d/ds(x_μ p_ν-x_ν p_μ)=x_μ F_ν-x_ν F_μ
になるかと思いますが、
相対論では、普通の意味の剛体は存在しないということで、
この式は何を意味するのでしょう？

ここまで問題を一般化したのはいいですが、ここでつまりました。
どなたか知恵をお貸しください。

回答No.3

mmky

#1mmkyです。
ibm_111さん、ずれずれでごめんね。
手に負えませんです。
追伸まで

回答No.2

mmky

#1mmkyです。#1で具体例をと思って考えて、はまってしまって纏まりがありませんでした。ごめん。
まず、(1)から(3)までの全体について。
かっての時代、ガウス先生が学長で、若き研究者のリーマンさんは、
一般化された計測の概念を発表しました。ガウス先生は感激のあまり声もなかったという話を読んだことがあります。リーマンさんの概念は一般化された計測の概念ですから、この概念を利用して一般化された運動方程式を考えるということは正しいことだと思います。それから、4次元目に時間の概念
を導入したのをミンコフスキー時空間といいますが、この時空間が
アルバートさんの世界になりました。リーマンさんの概念からいえば、
一般解の中の特殊解ですから、一般化された運動方程式と特殊な
運動方程式の関係をしっかり知るためにもibm_111さんの研究は大切ですね。

(1)剛体の考えかた。
剛体は密度ρｎの性質で決まる。　
n=1～3　で線密度、面密度、体積密度が定義される領域では、剛体といえるものがある。
n=4 (エネルギー密度・ｓ：プランク定数も入る)以上では剛体は存在しない。
（2)一般相対論の世界（ミンコフスキー時空間）が現実の存在時空をあらわすものであれば、3次元以下の運動方程式はその影響下にある。剛体もしかり。但し、四次元目の虚の時間軸上では剛体では存在しえない。エネルギー密度分布になる。（4次元限界は概念的限界（特殊解）であるが故の問題。）
それから、
(3)全体概念に同じ
一般的には四次元密度ρ4はエネルギー密度をあらわします。
体積密度ρ3（剛体の概念）はその中で許される特殊解という概念かな。

ということでかなり私見（豊富）が入っていますが
参考になれば。
ibm_111さんがんばってくださいね。
それから蛇足ですが、＃１で軸比なるものを勝手に使いましたが、
mmkyさんはこの概念が空間インピーダンス（√μ/ε）に関係あるの
でないか？と疑っていた時期があります。
楽しみました。　ありがとう。
以上

補足

うーーーーーん・・・
もう少し（半年ぐらい？）締め切らないでおきますんで
何か思いついたら書き込んでください。（笑）

回答No.1

mmky

ｎ次元での剛体と運動方程式の定義ですか。
ibm_111さんの質問は哲学過ぎて難しすぎますが、趣旨はなんとなく理解できます。具体的なものがないと抽象的すぎるかなと思って、
数学的に証明されているｎ次元球体の体積を使って一丁やってみますか。
参考になるかもしれません。なればいいのですが？
ずれていますのであらかじめ、ごめん。

n次元球体の体積Rｎは、nを次元の次数として、
i=1からn,　r=√(Σ(Xi)＾2), Sn=2π＾(n/2)/Γ(n/2)
ｒ=A
とすれば、Rｎ=Sn*（A＾n/ｎ）
各次元で密度が均一とすれば、ρn が定義できて、質量Mnは、
Mn=ρn*Rｎ= ρn *Sn*（A＾n/ｎ）
とかける。
S1=2、S2=2π、S3=4π、S4=２π＾2 ,S5=(8/3)π＾2 など。
(これはｎ次元球に限る必要はないのでｎ次元での質量の定義は可能である。
でも4次元以上の密度ρ4～ρｎとはいったい何だろう？わからないけど進みましょう。）

このn次元質量に対して、n次元球空間での運動方程式を考える。
空間表示は同じものを使う。r=√(Σ(Xn)＾2)
r、Xn が時間ｔの関数とする。時間ｔの変化は空間内外及び表面で均一と
すればｔに関する微分が可能で、
dr/dt= { Σ(Xn)(dXn/dt)}/{Σ(Xn)＾2}＾(1/2)
={Σ(Xn)(dXn/dt)}/r
(註：ｒ＾2=(Σ(Xn)＾2) 、2rdr/dt=Σ2(Xn)(dXn/dt)）
だからｒ方向の速度は、Vr={Σ(Xn)(dXn/dt)}/r　で定義できる。
これから、各次元での速度成分Vxi は、Vxi=(Xi)(dXi/dt)/r　
と考えられるので、
加速度αrはdVr/dt、 各成分の加速度αxi=dVxi/dt、 とできるので、
ｎ次元の運動方程式は、
Fr=Mn*αr、又は、Fxi=Mn*αxi としてかける。
ということで、ｎ次元の運動方程式を作ることは可能。

そこで、例題
ｎ=4, X1,X2,X3,X4の速度成分は、
Vx4=(Xi)(dXi/dt)/r
X4=C(jt) と置換すると、（minkofski's 時空間）
ｒ=√{X1＾2+X2＾2+X3＾2+(jCt)＾2},
質量は？
M4={ρ4 *２π＾2*（A＾4/4)}={ρ4 *A＾4*(π＾2/2)}
速度と加速度は？(jt)で微分して、
X4での速度成分Vx4=(X4)(dX4/d(jt))/r
=C(jCt)/r=C＾2(jt)/r
加速度αx4は、αx4=d(Vx4)/d(jt）とすれば、
rは(jt)の関数なので、
αx4=d{C(jCt)*√(Σ(Xn)＾2)}/d(jt)
=C＾2*r +C＾2(jt)(jCt)C/r
=C＾2*r -(C＾4t＾2)/r
ここで、jCt/r=jε(X4/r=jε:軸比）と置いて、
M4*Vx4=C＾2(jt)/r=M4*C(jε)
M4*αx4=M4*C＾2{r＾2-C＾2t＾2)}/r=M4*C＾2{(Ct/ε)＾2-C＾2t＾2)}/(Ct/ε）
=M4*C＾3*t（1-ε＾2)/ε｝

一方,実時間tで微分して速度を出すと、速度と加速度はマイナスの値をとる。
虚時間jｔの代わりに実時間ｔとρ4の代わりにρ3でという方法が解りやすい
がこれが、これが正しいかどうか？

難しいですね。