回転する剛体の壁との衝突後の運動

質問

どなたかこの問題の疑問点についてご教授ください。

（問題）
長さ2aの質量が無視できる棒の両端に質量mの質点が取り付けられてた剛体と、壁との衝突を考える。剛体は常にxy平面内で運動しているとし、質量中心の初期速度を（Vx,Vy), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω(>０)とする。ただし、重力および、壁と剛体との間の摩擦は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。
（問）
質点と壁は弾性衝突するとし、その時に壁が剛体に及ぼす力積をΔfとする。また壁はなめらかであり、力積はy成分のみを持つとする。衝突直後の剛体の質量中心の速度を，角速度を（V'x,V'y), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω'として，衝突前後の剛体の角運動量変化の式、運動量変化の式を示せ。
また弾性衝突した質点の衝突直前後のy方向速度Uy,U'yが関係式U'y=-Uyをみたすことと先ほど求めた式を用いて、衝突直後のV'x、V'y、ω'をa、θ、Vx、Vy、ωを用いて表せ。

（疑問点）
運動量、角運動量の式をそれぞれ
2m√(Vx^2+Vy^2) + Δf = 2m√(V'x^2+V'y^2)
2ma^2ω+Δfa*cosθ=2ma^2ω'
というように立てて、質点のy方向の運動量変化の式
2mUy + Δf = 2mU'y
の式からΔfを4mUyと算出して角運動量変化の式に代入して
ω' = ωcos^2θ+2Vy/a*cosθ+ω
と算出してこれを
V'y = U'y - v'y = Vy + aωcosθ - aω'cosθ　（ｖ'yは衝突後の質量中心周りの回転速度）
に代入したのですが、得られたのは
V'y= Vy - (aωcos^3θ+2Vcos^2θ)
とy方向の変位が振動する解となってしまいました。

この手順の訂正箇所をどなたか教えてください。
あと，V'xはx方向の力積を受けていないからVx=V'xでいいのでしょうか。

回答No.7

SKJAXN · ベストアンサー

No.6と同じ者です。下記の部分は符号が逆です。失礼しました。

【誤】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'-a*ω'*cosθ

【正】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は -a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-(-a*ω*cosθ)=Vy+a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'+a*ω'*cosθ

衝突するとω'がωと逆になるのは明解ですが、左回りを正にしているため、Uy'の式もこの形で表わせます。

結果は、
Vy'=-(sinθ)^2/(1+(cosθ)^2)*Vy-(2*cosθ)/(1+(cosθ)^2)*a*ω //
ω'=(sinθ)^2/(1+(cosθ)^2)*ω-(2*cosθ)/(1+(cosθ)^2)*Vy/a //

となります。

お礼

訂正箇所確認しました。
了解です，わざわざありがとうございます！

回答No.6

SKJAXN

ははあ、貴殿とのやり取りでようやく理解しました。私は剛体中心が支持されているという先入観に陥ってました。この問題は、剛体中心も自由ですね。No.3の回答は撤回します。剛体中心が自由という下で、解答いたします。
まず剛体の質量中心に対する慣性モーメントIgは、平行軸の定理から
Ig=2*m*a^2 →{1}

次に質量中心回りの角運動量と力積のモーメントの関係は、
Ig*ω'-Ig*ω=a*⊿f*cosθ →{2}

次に剛体全体の運動量と力積の関係において、x軸方向は、
2*m*Vx'-2*m*Vx=0 →{3}

y軸方向は、
2*m*Vy'-2*m*Vy=⊿f →{4}

また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
Uy=Vy-a*ω*cosθ

式{5}と同様に、
Uy'=Vy'-a*ω'*cosθ

Uy'=-Uyですので、
Vy'-a*ω'*cosθ=-Vy+a*ω*cosθ →{5}

Vx'は式{3}から直ちに求まり、Vx'=Vx //

次に式{2}と式{4}から⊿fを消去すると、
2*m*a^2*ω'-2*m*a^2*ω=a*(2*m*Vy'-2*m*Vy)*cosθ
⇔ a*ω'-a*ω=Vy'*cosθ-Vy*cosθ ⇔ a*ω'=Vy'*cosθ-Vy*cosθ+a*ω →{6}

これを式{5}に代入して、
Vy'-(Vy'*cosθ-Vy*cosθ+a*ω)*cosθ=-Vy+a*ω*cosθ
⇔ (sinθ)^2*Vy'=-(1+(cosθ)^2)*Vy+2*a*ω*cosθ
よって、Vy'=-((1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2)*Vy+(2*cosθ/(sinθ)^2)*a*ω //

さらにこれを式{6}に代入して、
a*ω'=(-(1+(cosθ)^2)/((sinθ)^2)*Vy+2*cosθ/((sinθ)^2)*a*ω)*cosθ-Vy*cosθ+a*ω
⇔ a*ω'=-cosθ*(2*(cosθ)^2/(sinθ)^2*Vy+(1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2*a*ω
よって、ω'=-(2*cosθ/(tanθ)^2)*Vy/a+((1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2)*ω //

いかがでしょう？

お礼

ご回答頂いてありがとうございます。
導出過程を記述して下さったおかげで，とてもわかりやすかったです。
どうもありがとうございました！

回答No.5

rnakamra

#1のものです。

・⊿f2の作用点と向き

・⊿f2は間接的に算出する物理量だと思うのですが，それを算出するためには
mUy+⊿f+⊿f2=mU'y
の式以外に⊿f2をどの式に加えればいいのでしょうか？
⊿f2のまま右の質点の運動量式に加えると右と左でUyの値が異なってくると思うのですが？

この⊿f2ですが、実際は⊿f2yと書くべきもので、剛体棒からかかる力はy方向だけではありません。
剛体棒にはこの力の反作用がかかりますが、剛体棒自体に質量がないことから別の力が働き釣り合いが取れていないと剛体棒の加速度が発散してしまいます。
剛体棒に力を及ぼすものはこれ以外にはもう一つの質点から受ける力しかありません。この力は⊿f2になります。(左側の質点から受ける力が-⊿f2であるため)
さらにこの剛体棒にかかるトルクは"0"でないといけません。トルクが"0"でないとすると角速度の時間微分が発散してしまいます。(剛体棒の質量が"0"であり、完成モーメントも"0"になるため)
そうすると、⊿f2の向きは必然的に剛体棒の軸方向になってしまいます。
そのために次の関係式が成り立ちます。
⊿f2y=⊿f2x*tanθ
左側の質点の速度をUx,Uy,U'x,U'yとすると壁にぶつかった前後での運動量保存から次の関係が得られます。
mUx+⊿f2x=mU'x
mUy+⊿f+⊿f2y=mU'y

もう一つの質点の速度はVx-Ux,Vy-Uy,V'x-U'x,V'y-U'yになりますので、この質点に関しても運動量保存から
m(Vx-Ux)-⊿f2x=m(V'x-U'x)
m(Vy-Uy)-⊿f2y=m(V'y-U'y)
の関係式が得られます。

この式から角速度との関係式を求めればよいでしょう。
全体としての速度のx成分Vxが変化することはありませんが、Uxが変化しないかについては実際に計算して確認してください。

お礼

懇切丁寧なご回答ありがとうございます。
御蔭様でようやく理解することができました。
計算のほうも実際にやってみて確認しました、とても納得しました。
どうもありがとうございました！

回答No.4

SKJAXN

お礼をいただいた回答でなくて申し訳ありません。確認です。

１．問題に「剛体の質量中心の速度を，角速度を（V'x,V'y)」という表現がありますが、速度ですか？　角速度ですか？

２・上記が速度である場合、問題に「関係式U'y=-Uyをみたす」という表現がありますが、V'y=-Vy の間違いとうことはないですか？

恐縮ですが、今一度ご確認いただきたくお願いいたします。

お礼

こちらの手違いでお手数おかけしました，すみませんでした。

補足

>１．問題に「剛体の質量中心の速度を，角速度を（V'x,V'y)」という表現がありますが、速度ですか？　角速度ですか？

失礼しました，タイプミスです。正確には「「剛体の質量中心の速度を（V'x,V'y)，角速度をω'」です。

>２・上記が速度である場合、問題に「関係式U'y=-Uyをみたす」という表現がありますが、V'y=-Vy の間違いとうことはないですか？

これに関しては問題文どおりです。質量中心の速度Vのy方向成分でなく，質点の速度Uのｙ方向成分と記述されています。

回答No.3

SKJAXN

野球でのバッティングを想像してみて下さい。向かって来た球に対し、「打つ直前にバットから手を離して球を打ち返した」時と、「バットを握ったまま球を打ち返した」時とで、どちらの打球の方が飛ぶでしょうか？　まあ、バットのどの部分に当たるかとか、スイングの速さ等の細々したことを考えなくてはならないですが、一先ずそれぞれのケースでバットスイングの速さもバットに当たった位置も同じとしましょう。
後者の方が飛びますよね。
それは、スイングによって生成された力がバットを支持していることで、確実に(100%とは言えませんが)伝わるからです。前者は支持されていないため、バットもどこかに飛んで行ってしまうでしょう。よって、その飛んで行ってしまった分の運動量だけ打球の運動量も後者と比較して減ってしまい、打球は飛びません。
すなわち支持の存在により、＋αの力積が⊿fと同じ方向に加わります。ただしこの値は、質点系の力学でよく出てきた張力や垂直抗力等のように間接的に分かる物理量です。ですから、＋αも未知数として並進(x, y)の運動量と力積の関係式へ取り入れるとともに、回転の角運動量と力積モーメントの関係式(こちらには取り入れられませんよね。＋αは回転中心からの距離が0ですから)から連立方程式を解くことになります。

お礼

SKJAXNさん
ご回答ありがとうございます。
支持による力積＋αですが，壁をバットに見立てた時に剛体にかかる力積ということですね。

それは質点ではなく質量中心に掛かるものということですか？
それとx方向の運動量式にもその項を加えるということですが、⊿f方向と同じ向きということはゼロですよね？となると連立方程式を立ててもαが求まらないような気がするのですが，ほかに＋αする式があるのでしょうか？

回答No.2

rnakamra

>2mUy + Δf = 2mU'y
>の式が剛体棒から受ける力がなければ成り立たないということですが，幾分素人でそこがあまりピンと来ないので，恐縮ですがその部分についてもご教授頂けないでしょうか。

左側の質点が壁にぶつかる瞬間、二つの質点をつなげる剛体棒からそれぞれの質点が力を受けます。でないと左右の物体があさっての方向にばらばらに飛んでいってしまいますから。

上の式には左側の質点にかかるもう一つの力積⊿f2(剛体棒から受ける力積)を加えて
mUy+⊿f+⊿f2=mU'y
としないといけません。
なお、この式は左側の質点のみについて考えているため、質量はmにしないといけません。

お礼

rnakamraさん
ご回答ありがとうございます。

質点がバラバラにならず剛体としての形を保つための力ということですね。
何度も教えを乞うておきながら恐縮なのですが、解法の指針がまだ浮かばないので，以下の点について教えて頂けませんか。

・⊿f2の作用点と向き

・⊿f2は間接的に算出する物理量だと思うのですが，それを算出するためには
mUy+⊿f+⊿f2=mU'y
の式以外に⊿f2をどの式に加えればいいのでしょうか？
⊿f2のまま右の質点の運動量式に加えると右と左でUyの値が異なってくると思うのですが？

・⊿f2を加えたUyの関係式から⊿fを算出してそれを角運動量の式に代入してω'を求めてから
V'y = U'y - v'y = Vy + aωcosθ - aω'cosθ
に更にだいにゅうしてV'x、V'yを求めるという手順でいいのでしょうか？

回答No.1

rnakamra

運動量はベクトルであり、運動量の式はあくまでベクトルとしての式で書かないといけません。絶対値で考えてはいけません。

運動量についての式は
2mVx=2mV'x
2mVy+⊿f=2mV'y
でないといけません。
角運動量についての式は提示されたものでよいと思います。

あと
>2mUy + Δf = 2mU'y
この式は成り立ちません。左側の質点は剛体棒からも力を受けているはずなのでその力を入れておかないといけません。

お礼

rnakamruさん
ご回答いただきありがとうございます。
なるほど、確かに方程式はベクトル毎に立てるべきでした。

2mUy + Δf = 2mU'y
の式が剛体棒から受ける力がなければ成り立たないということですが，幾分素人でそこがあまりピンと来ないので，恐縮ですがその部分についてもご教授頂けないでしょうか。