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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:運動量保存の法則について)

運動量保存の法則について

このQ&Aのポイント
  • 運動量保存の法則について疑問があります。
  • 運動量保存の法則はある系において運動量が保存されることを表します。
  • エネルギー保存の法則とは異なり、運動量保存の法則では失われる運動量が考慮されません。

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  • foomufoomu
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回答No.5

運動量保存の法則を「衝突を解くための法則」みたいに考えるから、おかしく感じるのではないでしょうか。 運動量保存の法則は、「外部と切り離された系では、系全体の重心は静止または等速直線運動を保つ。」という法則です。 >極端なことを言えば、衝突後運動量が0になっても方程式は立てられますよね? その場合は、系の運動量はもともと0です。運動量は保存するのですから。 これはエネルギー保存則でも同じです。 衝突後の運動エネルギーがゼロになる条件だってあります。たとえば、同じ質量、同じ速さの2つの粘土塊を正面衝突させるとか。(ベトッとくっついて、動かなくなる) >はね返り係数でその衝突の性質を方程式で考慮しているので 跳ね返り係数は、運動量保存則の係数ではありません。どちらかというとエネルギー保存則から導かれる係数です。 運動量保存則は m1v1+m2v2=一定 だけの法則です。 衝突の問題は、運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くのが、本来のやり方なのですが、これは恐ろし手間がかかるので、衝突時に熱などになって失われる運動エネルギーを跳ね返り係数という形であらわして、計算の手間を省いています。

その他の回答 (5)

noname#221368
noname#221368
回答No.6

 たぶん数式を追った方が速い。それと誰も作用・反作用の法則を誰も出してくれなかったので、試みてみます(^^;)。  添付図の点線丸の内部を、系と呼びます。点線丸はその辺にある物質を全て質点の集まりとみなし、その質点集団のどこかに引いた、勝手な境界線です。これはいつでもどこでも勝手に引けます。とにかく点線丸の内部と外部は、分けて考えようという事に過ぎません。  系の内部にはn個の質点があるとします。i番目の質点の質量をm[i]([ ]は下付きの意味),その加速度をa[i]として運動方程式を立てると、添付図の式(1)です。  式(1)右辺のf[ji]は、質点jが質点iに及ぼす力です。jは系内n個の質点全てに対して考えます。もちろん全てのjがiと関係してるかどうかはわかりません。もし関係してないのだったら、f[ji]=0とすれば良いよね?、という考えです。特にf[ii]=0です。  F[ki]は系の外部にある質点kが質点iに及ぼす力です(緑実線矢印)。外部のkが何個あるか知りませんが、とにかくs個あったとします。kとiが関係なかったらF[ki]=0とする、は同様です。  系内部の各質点について式(1)が成り立つので、全部の和を取ります。式(2)です。式(2)の左辺は、右辺の意味より、系全体に働く力の合力の加速度表現です。系全体というところに気合を込めて、式(2)の左辺を式(3)の右辺に等置します。  式(3)右辺のMは、Σm[i]を表し系内部の全質量です。a=(Σm[i]a[i])/Mで計算できる加速度aは、系内部を一塊の物体とみなした時の、その物体の加速度になる事は納得できないでしょうか?。  次に作用・反作用の法則の出番です。  式(2)右辺1項目の2重Σにはf[ji]が必ず登場します。しかしiとjに関する和は同じ範囲を走るので、2重Σにf[ji]が登場するならf[ij]も必ず登場します。ところが作用・反作用の法則より、f[ij]=-f[ji]という事になります。f[ij]は、質点iがjに及ぼす力だからです。添付図ではそれを、赤と青の矢印で表しました。この二つの力は作用・反作用の法則から互いにキャンセルします。系内の(i,j)以外のペアに関しては、全部書くと図が汚くなるので添付図では、両端矢印で表しました。  そうすると式(2)右辺1項目の2重Σは、まるごと0です(式(4))。  さらに式(2)右辺2項目の2重Σは、系内の質点i全部に作用する、緑実線矢印の合計になります。この時も作用・反作用の法則から緑実線矢印とペアになる緑点線矢印はあるのですが、2重Σの中でiとk関する和は違う範囲(系内部と外部)を走るので、式(2)右辺2項目の2重Σは緑実線矢印の合計になる訳です。  これが系内部を一塊の物体とみなした時の、その物体に作用する外力の合力である事は、良いですよね?(^^;)。いちいち「Σあ~たら」と書くのも面倒なので、式(2)右辺2項目は外力Fで表します(式(5))。  そういう訳で式(3),(4),(5)を式(2)に代入すれば、式(6)という簡潔な表現が得られます。後は時間で一階積分して、式(6)を運動量の形に直します。式(7)です(ここはOKですか?(^^;))。  mv[0]は系の初期運動量であり、時間の積分範囲0~tの0は宇宙開闢時(145億年前?)かも知れず、tは現在かも知れず、100万先の未来かも知れません(^^;)。  しかしとにかく式(7)によって、運動量保存則を導けます。#5さんの仰るようにそれは、「外部と切り離された系では、系全体の重心は静止または等速直線運動を保つ。」と表せます。  「外部と切り離された系」とは、力学では外力F=0という事です(意味はわかりますよね)。孤立系とも呼ばれます。よって孤立系では式(7)より、未来永劫にMv=Mv[0]となり、「運動量は永遠に変わらない」です(^^;)。  式(7)をもう一階積分して位置の関係に直し、それに式(3)を考慮すると、後半の「系全体の重心は静止または等速直線運動を保つ。」が言えるようになります。  ところで系内の質点の相互作用力f[ji]とf[ij]には、何の制限もなかったですよね?。という事はf[ji]とf[ij]は、例えば摩擦力であってもかまわない事になります。幸か不幸か運動量保存則は、そのようなエネルギー損失を起こすような場面にも適用できる、エネルギー保存則より広い適用範囲を持つ保存則だったんだとしか(力学的にはですが)、自分には言いようがありません。

  • Tann3
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回答No.4

 「運動量保存」のどこが疑問なのでしょうか。  ニュートンの運動方程式は納得されますか?    F = m * a    (1)   (力)=(質量)*(加速度) ということです。  加速度は、a=dv/dt ですから、(1)は    F = m * a = m * dv/dt 相対論を考えなければ、質量 m は定数ですから、    F = m * dv/dt = d(mv)/dt つまり、運動量を p=m*v と書けば    F = dp/dt です。これはニュートンの運動方程式そのものです。  ここで、2体の衝突などのような、外力の働かない「閉じた系」においては、外力 F=0 なので    dp/dt = 0  つまり p = const です。  これが「運動量保存」です。ニュートンの運動方程式で、外力=0の特殊な場合、ということだけですよ。  これに対して、「エネルギー保存」の方は、ある高さから落下させると「位置エネルギー」が「運動エネルギー」に変わったり、力学的エネルギーが電磁気のエネルギーや熱量と等価だったり、極端には E=m*c^2 で質量もエネルギーだ、などと言われて、本当に本質的に納得されていますか?

noname#212313
noname#212313
回答No.3

> 運動量保存の法則の方程式だけを感覚的にみれば、エネルギー保存則が頭にあるせいか、どうしてもおかしな方程式に見えてしまう(失われる運動量が表わさないといけないのではないか)のは、やはり間違いですか?  間違いです。運動量保存則は経験則といっていいです。保存する、というのが今までの実験、観測的な事実です。 > はね返り係数でその衝突の性質を方程式で考慮しているので解ける、という風には理解できますが、  はね返り係数と運動量保存則は無関係です。弾性衝突と非弾性衝突、さらに完全非弾性衝突という衝突の分類も運動量保存則とは無関係です。 > mv1+mv2=0  これは一直線上の運動で(ついでに申せば重力などの力は速度方向には加わっていない)、 左辺「ともに質量mの物体が、ある物体は速度v1で、別の物体は速度v2であった。 右辺「二つの物体が衝突後に一体化し、一体化した物体の速度が0になった。」 という状況を簡潔に表したものかと思います。この式からv1とv2について分かることを求めてみます。  mv1+mv2=0 ―(1) ∴mv1=-mv2 ∴v1=-v2  v1とv2は速さが同じで方向が正反対だということです。このことを先に事実として踏まえれば、衝突前から式(1)は成り立っているということです。衝突前に(1)であるということは、右辺の0は系全体(この場合は二つの物体)の運動量を表しているということです。衝突前には、  mv1+mv2=0 ∵v1=-v2 ―(1)’ という関係が成り立っているということです。繰り返しですが、この式は衝突前の系全体の運動量を表しています。衝突前から0であるわけです。それが不変であるというのが、運動量保存則です。  もし弾性衝突をしたとしたとすれば、v1は衝突後に-v1に、同じくv2は-v2に変わります。これは、  mv1+mv2=m(-v1)+m(-v2)=0 ∵v1=-v2 ―(1)’ と表されます。完全でない非弾性衝突であれば、一方の反発係数をe1、もう一方の反発係数をe2とすれば、  mv1+mv2=m(-e1v1)+m(-e2v2)=0 ∴e1=e2 となります。この衝突における反発係数は同じになるわけです。反発係数で考えることができるのも、運動量保存則がベースになっているからです。  運動量が保存していないかのような運動を考えることもあります。例えば、壁にボールをぶつけて跳ね返るときです。衝突前後で速度方向が正反対になることを考慮すると、運動量変化は、最初にボールが持っていた運動量の2倍になります。最初がmvだったとすると、衝突後は-mvだからですね(mv-(-mv)=2mv)。  では、運動量は変化するものなのか。そうではないのです。壁は大地に対して動かないものだとしまして、運動量の変化分は壁から大地に伝わり、地球を動かしているのです。  水平で摩擦のある床の上で物体を滑らせても同じです。物体が速度を減じるにつれて物体は運動量を失いますが、その分の運動量は地球が得ているのです。  壁にぶつかるボールにせよ、床を滑る物体にせよ、物体と地球が系全体になっているわけです。ただし、地球は物体より遥かに質量が大きいですから、速度変化でみると極めて小さいため、普通はゼロに近似して扱っています。  しかし、近似できるからといって、厳密にゼロではありません。はね返ったり、摩擦で停止したりして変化した運動量も、地球も考慮すれば、きちんと保存されているわけです。 P.S.  エネルギーも実は完全に保存されています。保存されないように見えるのは、力学的エネルギーだけを考慮しているからです。摩擦で停止する物体であれば、力学的エネルギーは摩擦による音(波動のエネルギー)や熱(熱エネルギー)などに変わっています。非弾性衝突でも同じです。音や熱などに変わっています。  力学的エネルギーが保存されない分は、力学的以外のエネルギーに変化しているのです。物理学では系全体で考えて、無から有が生じたり、有が無に帰したりすることはありません(ただし、0が-1と+1になったり、逆に-1と+1が0になる現象ならある)。

回答No.2

物質の運動とそのエネルギーは不可分の関係にあります。 運動体のみに注目するなら、質問者様の疑問はご尤もですが、運動量保存則は、物体のベクトル運動量が不変であることを主張しています。運動の方向や速度を変更する要因は、外部との何らかのエネルギーの授受(摩擦力・衝突作用など)が必要で、運動のエネルギーは熱の授受や波動のエネルギーなどに変換可能な事をお忘れかと思います。 気体分子は全く不規則に勝手な運動と衝突を繰り返していますが、温度と圧力という二つの条件によって運動量を増減するため、密封容器内では温度と圧力とが比例する関係にあります。これは温度によって気体分子のエネルギーが増減して運動量を変化させている結果です。 更に温度によっては気相・液相・固相の相変化を伴い、相変化と共に運動量も変化し、潜熱という形でエネルギーの収授も行います。 運動状態の変化は、エネルギー状態の変化そのものなのです。 言い換えれば、運動量が変化しても、エネルギーの総和は一定に保たれます。

  • f272
  • ベストアンサー率46% (8623/18441)
回答No.1

> エネルギー保存則が頭にあるせいか、どうしてもおかしな方程式に見えてしまう ということですから,変な思い込みはやめましょうというだけのことではないだろうか? > 失われる運動量が表わさないといけないのではないか もし外力があれば運動量はそのままでは保存されませんよ。その外力による力積を導入してやれば運動量はやはり保存されます。 エネルギー保存則において,熱エネルギーなどに変換され散逸するのを考慮しなければならないのと,似たようなことですね。

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