境界のある２つの多様体の張り合わせ

質問

M1,M2：境界のある滑らかな多様体
φ：∂M1→∂M2：微分同相写像
ただし∂M1はM1の境界
が与えられたとき、M1、M2の境界をφで張り合わせて
新しい多様体Ｗ＝M1∪M2をつくることができる。

この定理の証明についての質問です。

まず∂M1、∂M2のカラー近傍U1、U2をとり、
微分同相写像g1、g2をそれぞれ以下のように定義します。
g1：U1→∂M1×(0,1]
g2：U2→∂M2×[1,2)
またg1、g2はともに境界上で恒等写像であると仮定する。
JiをMiからM1∪M2への包含写像とし
g：∂M1×(0,2)→M1∪M2を次のように定める。
g(x,t)＝J1(g1(x,t)) (０＜ｔ≦１)
g(x,t)＝J2(g2(φ(x),t)) （１≦ｔ＜２）

その後、M1∪M2はJ1(intM1)、J(intM2)、g(∂M1×(0,2))に覆われており、
それぞれの開集合にJ1、J2、gによって座標近傍系が入るため、
M1∪M2は多様体であると書いてあるのですが、どうして上記のことで
境界の張り合わせを滑らかにできることがわかるのでしょうか？
そしてそもそも座標近傍系が定義できる理由がわかりません…
どうしてなのか説明していただけないでしょうか？

ちなみに参照した文献はMilnor.J Lectures on the h-Cobordism Theoremです。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>Milnor.J Lectures on the h-Cobordism Theoremで

この本を読むくらいだから，数学科のすくなくとも3年生以上でしょ？
それなら，もっと考えてみましょう．
Milnorの本は扱ってる内容が高度なのに記述が
かなり分かりやすくていいのが多いのですよ．
＃characteristic classesなんかも面白い

Milnorが一般的に記述してることを
もっと具体的な「見える」多様体で図に描いたりしましたか？
例えば，球面S^2から円板D^1をくり貫いた境界つき多様体を
二個つくって，境界であるS^1どうしをMilnorの記述の通りに
張り合わせてみたり，メビウスの帯でやってみるとか．
もっと単純なのだと「二つの線分」を張り合わせてみるとか．

一般論だと，まず M1∪M2 に「自然に位相が入る」のは
理解できてますか？そしてその位相で多様体になることを示すのです．

J1(intM1)、J(intM2)、g(∂M1×(0,2))で
M1∪M2 が被覆されるのもOKですか？

J1(intM1)、J2(intM2)に座標が入るのは当たり前でしょう？
これは結局M1とM2の内部に過ぎないのです．

問題なのは
g(∂M1×(0,2))の点（pとしよう）での座標系だけ．
これもカラーの性質を考えれば，
pでの近傍はカラーとM1，M2の境界の近傍で表現できます。
pの近傍はM1側とM2側の近傍が合わさった形です．
とにかく絵を描いてみればすぐわかります．

intM1
-----------------------------
ここらへんがU1
-----------∂M1--------------
↑
φで境界が微分同相
↓
-----------∂M2--------------
ここらへんがU2
----------------------------
intM2

張り合わせると

intM1
------------------------
ここらへんがU1
------------------------上と下の間がg(∂M1×(0,2))
ここらへんがU2
------------------------
intM2

こんな感じ．だから，真ん中の線の上の点の近傍は
U1とU2にまたがるもので，座標系はそれぞれのものを合わせたもの．
座標変換もそれぞれのものを合わせて考えれば
きちんと成立します．
このときはずせない条件は「境界同士が微分同相」であること．
まじめに式に書くとかなり煩雑になるのはわかるけど
きちんと書いてみるとよいでしょう．

この本を読もうってくらいだから，直接でてこなくても
多様体の基礎の議論（微分形式，場，埋め込み）や
トポロジー（（コ）ホモロジー，ホモトピー，基本群）は
抑えてるでしょうから，そいつらのときと同様に
絵を描いて考えればいいのです．
＃各種の束や被覆空間や層なんかも絵を描けば理解しやすい．

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

「具体的に見える多様体で実践する」のはいい方法ですね。
一度やってみます。
この回答を参考にしてもう少しじっくり考えてみます。