自由端における境界条件

質問

弦の振動について、両端が自由端というものを考えます。
このとき座標xにおける変位をu(x,t)として表すとします。

弦の長さをLとすれば、自由端であるので、境界条件よりuをxで偏微分したものにx=0,Lを代入した場合は0となりますよね。

これは応力が0ということから導かれると思うのですが、なぜ自由端の場合、x=0,Lでの応力が0になるのですか？

詳しく教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

証明というより、自明と考えられていると思います。

　応力は、応ずる力と書くとおり、外力がなければ発生しません。外力0の部分は変形しないからです。自由端は、何の物体にも触れていないので、外力はかかりません。

　エッ？、外力がなくたって自由端以外の弦の部分には、応力があるじゃないかって？。・・・そうですね。正しいです。

　注目している弦の部分を切り離して考えます。切り離した部分と、弦の残りの部分は互いに逆向きの内力をやりとりしています。内力は必ずペアで現れますが、切り離した部分とそれにかかる内力の片割れだけをセットで考えると、切り離した部分にかかる内力とは、じつは切り離した部分にとっては、それが外力です。

　なぜ内力が発生するかと言えば、切り離した部分の左右で、弦が斉一な運動を（ふつう）しないからです。左右が同じ運動をすれば、平行移動したのと同じなので、切り離した部分は曲がる必要もなく、応力も発生しないですよね？。

　ところが自由端は、左または右の相手がいないので、右または左の相手の運動のままに、自由に変位できるので、弦の真ん中あたりの部分の悩み（？）は、ない訳です。

お礼

少し想像しにくいものでしたが，なんとなく理解することができました．
ありがとうございました

回答No.1

noname#160321

済みませんが、
「自由端」≡「x=0,Lでの応力が0」
定義です。

補足

回答をしていただきありがとうございます。

すなわち,このことは証明できないということでいいんでしょうか？