多様体の問題について

質問

S^2=｛(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1｝とする。
写像fを
f:S^2→R^2
f(x,y,z)=(x,y)
で定義する。

問　座標近傍系を用い、fのランクをS^2の各点について調べよ。

多様体について勉強していたのですが、この問題にどのように対処したら良いかわからず困ってます。
何をしたらよいのかヒントをください。よろしくお願いします。
(S^2が無限に微分可能な多様体であることはわかっています。)

回答No.4

superkeroyon · ベストアンサー

No.3です。誤字や記号の煩雑さ、すみません。

No.3で

Δf*φ^(-1)(x,y)

は多変数関数の微分と理解してください。

>z=0のとき、定義したφでどのような不都合が起こるか
要するに、zが０でない時の局所座標(x,y,z)->(x,y)が、S^2の（x,y,z）のある近傍では1対1になりうるのに、z=0のとき、S^2の（x,y,z）のどんな近傍をとっても、(x,y,z)->(x,y)が1対1にならず、局所座標にならなくなるということがポイントです。

お礼

>No.3です。誤字や記号の煩雑さ、すみません。

ちゃんと意味が通ってるので大丈夫ですよ^^
こちらこそ何度もご回答を頂きありがとうございます。
superkeroyon様のおかげでz=0の場合についてはすぐに理解できたつもりです。

#4の
>z=0のとき、S^2の（x,y,z）のどんな近傍をとっても、(x,y,z)->(x,y)が1対1にならず

これがとても大きなヒントとなりました。というのは「#1のお礼にて定義したφではz≠0の場合でも1対1になってないのではないか。」と疑問が浮かんできたためです。

そこで解答として次の場合分けを考えました。

(i)z≠0の場合
φ_z^(+-)(x,y,z)=(x,y)
左辺がごちゃごちゃしていますが、#1のお礼で定義したものにzの正負によってさらに細分化したものです。
これの逆写像{φ_z^(+-)}^(-1)}は
{φ_z^(+-)}^(-1)}(x,y)=(x,y,+-√(1-x^2-y^2))
となるのでφ_z^(+-)は同相写像(少なくとも単射性は保証されている)。
この時
f*{φ_z^(+-)}^(-1)}(x,y)=(x,y)
なのでrank f=2

(ii)z=0,y≠+-1の場合
φ_y^(+-)(x,y,z)=(x,z)と定義すると
{φ_y^(+-)}^(-1)}(x,z)=(x,+-√(1-x^2),0)
この時
f*{φ_y^(+-)}^(-1)}(x,z)=(x,+-√(1-x^2))
なのでrank f=1

(iii)z=0,y=+-1の場合
φ_x^(+-)(x,y,z)=(y,z)と定義すると
{φ_x^(+-)}^(-1)}(y,z)=(+-1,0)
この時
f*{φ_x^(+-)}^(-1)}(y,z)=(0,+-1,0)
なのでrank f=0

(結果的に答えだと思うものを全て書き込んでしまいましたが…)このように理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

superkeroyon

f*φ^(-1)(x,y)=(x,y)までokです。
成分ごとの関数を考えます(h1,h2)=f*φ^(-1)とおきますと、
h1(x,y)=x
H2(x,y)=y
これより、
∂h1(x,y)/∂x=1,∂h1(x,y)/∂y=0,
∂h2(x,y)/∂x=0,∂h2(x,y)/∂y=1,
ですので、Δf*φ^(-1)(x,y)=単位行列(対角線上が１、その他は０）
その一時独立菜な列の数は２ですので、rankΔf*φ^(-1)(x,y)=2
となります。

>z=0のとき、定義したφでどのような不都合が起こるか
(x,y,0)の近傍には（a,b,ε）と（a,b,-ε）(a^2+b^2+ε^2=1,aはxと近い、bはyと近い)ものがはいりますので、
射影(x,y,z)->(x,y)は、1対1にならないので、同窓写像にならなくなります。

回答No.2

superkeroyon

No1に書き方の間違いがありました。

ステップ1:S^2の各点の局所座標Φ:S^2->R^2を具体的に定める。

ではなく、

ステップ1:S^2の各点の局所座標Φ（その点のある開近傍からR^2のある開集合への同相写像）を具体的に定める。

と訂正してください。失礼いたしました。

回答No.1

superkeroyon

次のように考えます

ステップ1:S^2の各点の局所座標Φ:S^2->R^2を具体的に定める。
ステップ2:R^2はそのままユークリッド空間だから、それ自体可微分多様体とみなせますから、そのままの座標を局所座標として考えます
ステップ3:f(Φ^(-1))（ここでΦ^(-1)は逆写像）の偏微分からなる行列（微分係数ですね）の階数がステップ１で定めたS上の点でのランクになります。

これを各点で調べればよいことになります。

局所座標の取り方について、例えばですが：
まずzが０でない(よってx^2+y^2＜１)S^2上の点では、（x,y,z）->(x,y)がとれます。
zが０であるS^2上（つまりx^2+y^2＝１）ではy=+-1かどうかで、局所座標Φの取り方を変えていけばいでしょう。

お礼

こんにちは。

改めてご回答ありがとうございました。
丁寧に訂正までしていただきありがとうございます。

このような理解で、あってますでしょうか。

z≠0のとき
φ:S^2→R^2,
φ(x,y,z)=(x,y)
とすると
x^2+y^2+z^2=1
なので
φ^(-1):R^2→S^2,
φ^(-1)(x,y)=(x,y,√(1-x^2-y^2))
となるので
f*φ^(-1)(x,y)
=f(x,y,√(1-x^2-y^2))
=(x,y)

よってf*φ^(-1)は恒等写像。
∴rank=0　(?)

あとすみません、z=0のとき、定義したφでどのような不都合が起こるかわからなかったので教えてください。よろしくお願いします。

補足

ご回答ありがとうございます。

superkeroyon様の回答をヒントに自分で考えてみたいので「お礼」は少々お待ちくださいませ。