以下の問題が分からなくて困っています。どなたかお分かりの方がいましたらご教授の方をお願いします。

質問

以下の問題が解けないでいます。どなたかご教授の方をお願いします。

関数u(x,t)は次の偏微分方程式ならびに境界条件を満足する。

∂u/∂t=∂^2u/∂x^2+2x (0≦x≦1) u(0,t)=u(1,t)=0 u(x,0)=x^2(1-x)/3

(1) u(x,t)=v(x,t)+g(x) とおくとき,v(x,t)は次の偏微分方程式ならびに境界条件を満たす。

∂v/∂t=∂^2v/∂x^2 v(0,t)=v(1,t)=0

g(x)を求めよ。

(2) (1)の結果を用いてu(x,t)を求めよ。

回答No.4

noname#94461

この問題の境界条件、定常状態の温度分布の間には、両立しない点があるのではないかと考えられます。

棒両端は大容量の定温熱源に接触し、棒内には熱発生源は無いものとします。
そうすると定常状態では一定温度、あるいは一定温度勾配の状態になります。
その時、∂u/∂t, ∂^2u/∂x^2の項はそれぞれ 0となります。

後に残るのは　2x (0<=x<=1)の項ですが、これと u(0,t)=u(1,t)=0 の項とが両立しません。

2xの項を生かすのであれば、次のように条件を緩める必要があると考えられます。

u(0,t)=u(1,0)=0, u(x,0)=x^2(1-x)/3;

この時、g(x)=2x です。

定常状態の解に温度勾配がある例については次の資料が参考になります。

http://auemath.aichi-edu.ac.jp/~ykhashi/semi/2007note/miki_final_ver.pdf
熱伝導方程式-物体の中の熱の伝わり方について (3.1 例3.)

f(x)=u(x,0)-g(x)=x^2(1-x)/3-2x;

上記　f(x)をフーリエ級数展開し、各項毎に時間に関する
指数関数減衰項と組合せて和を取り、最後にg(x)の項を加えると結果が得られるはずです。

http://sqa.scienceportal.jp/qa5199068.html
一次元熱伝導方程式のNo.7の回答も参考にして下さい。

また、このページの左上の検索[ ]欄に　"熱伝導"他を入力し、これまでの質問、回答内容も参照するようにして下さい。

回答No.3

rnakamra

>"∂u/∂t=∂^2u/∂x^2+2x"の"∂u"の"u"と"∂^2u"の"u"に"u(x,t)=v(x,t)+g(x)"を代入するということですか？
もしこの考えであっているのなら代入したしきはどのようになるのでしょうか？

それでいいです。
∂u/∂t=(∂/∂t){v(x,t)+g(x)}
ということです。

回答No.2

rnakamra

>u(x,t)=v(x,t)+g(x) の式をuの偏微分方程式に代入する。という方針を頂いたのですが、"∂u/∂t=∂^2u/∂x^2+2x (0≦x≦1) u(0,t)=u(1,t)=0 u(x,0)=x^2(1-x)/3"からu(x,t)を算出しそこに代入するのでしょうか？

違う。単に偏微分方程式のuのところに単純に代入するだけ。
u(x,t)を求められるのなら最初からそうする。
この問題は、変数分離できないものを変数分離できる形に変形することが目的でこのような置き換えをやっています。

補足

"∂u/∂t=∂^2u/∂x^2+2x"の"∂u"の"u"と"∂^2u"の"u"に"u(x,t)=v(x,t)+g(x)"を代入するということですか？
もしこの考えであっているのなら代入したしきはどのようになるのでしょうか？

回答No.1

rnakamra

(1)u(x,t)=v(x,t)+g(x)の式をuの偏微分方程式に代入する。
その際に出てくる。vの式はvが満たす偏微分方程式を用いて消去します。

u,vの境界条件からg(x)の境界条件が求まりますのでそれを代入すればg(x)を決定できるはずです。

(2)v(x,t)の満たす偏微分方程式を解くには
v(x,t)=X(x)T(t)
として、変数分離が可能です。

これでわからない場合は、わかる所まで補足に書いてご質問ください。

補足

u(x,t)=v(x,t)+g(x)の式をuの偏微分方程式に代入する。という方針を頂いたのですが、"∂u/∂t=∂^2u/∂x^2+2x (0≦x≦1) u(0,t)=u(1,t)=0 u(x,0)=x^2(1-x)/3"からu(x,t)を算出しそこに代入するのでしょうか？