この表現行列の意味が分かりません。
授業で執ったノートで分からない箇所がありまして。
『C^n⊃{u_1,u_2,…,u_n}をC^nの正規直交基底とし,(α_kj)をd/dzA(z)|_{z=0}の{u_1,u_2,…,u_n}での表現行列とすると
d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k.
と書ける。
この時,行列式の微分係数について,(A_1(z),A_2(z),…,A_n(z)):=A(z)とすると,
d/dz|A(z)||_{z=0}
=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|
=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},(α_1j,α_2j,…,αnj)^T,A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|』
となっています(^Tは転置行列を表す)。表現行列というからにはAは線形写像(?)ですかね。行列?
でも,
「=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|」
とかでは行列っぽく書いてあります。
「d/dzA(z)|_{z=0}u_j=Σ_{k=1..n}α_kju_k.」…(*)
と書けるのは表現行列の定義から分かりますし,
「d/dz|A(z)||_{z=0}
=Σ_{j=1..n}|A_1(z)|_{z=0},…,A_{j-1}(z)|_{z=0},d/dzA_j(z)|_{z=0},A_{j+1}(z)|_{z=0},…,A_n(z)|_{z=0}|」
という変形は,行列式の定義式から導けますね。
つまり,
d/dz|A_1(z),A_2(z),…,A_n(z)|
=Σ_{j=1..n}|A_1(z),…,A_{j-1(z),d/dzA_j(z),A_{j+1}(z),…,A_n(z)|
が成り立つ。
そこで,ただ,最後がどうして,
d/dzA_j(z)|_{z=0}が(α_1j,α_2j,…,αnj)^Tに化けるのかがわかりません。
(*)はもし,B:=d/dzA(z)|_{z=0}がn×n行列の意味なら
(Bu_1,Bu_2,…,Bu_n)
=
(u_1,u_2,…,u_n)
・
α_11,α_12,…,α_1n
α_21,α_22,…,α_2n
:
α_n1,α_n2,…,α_nn
と書けますが,これから,
B
=
α_11,α_12,…,α_1n
α_21,α_22,…,α_2n
:
α_n1,α_n2,…,α_nn
とは言えませんよね。
d/dzA_j(z)|_{z=0}の箇所が(α_1j,α_2j,…,αnj)^Tとなる理由をお教え下さい。
お礼
回答ありがとうございます。 やっぱりそのまま和にしていいのですね。 なにか違和感があったので。 ありがとうございました。