y=x^2やz=x^2+y^3の微分は何になる?

質問

よろしくお願い致します。

『Rを実数体とする。距離空間X:=Π[i=0,n]R,Y:=Π[i=0,m]Rに於いて、
T:={A∈2^(X);A={(x1,x2,…,xn);∃ci,di∈R such that ci<xi<di}}とし、
a∈Xに於いて、map f:nbhd(a,(X,T))→Y (nbhd(a,(X,T))はaの位相空間(X,T)に於ける近傍系)に於いて、「fはaで微分可能である」』

の定義を

『B:={R上の線形写像g:X→Y ; [0<∀ε∈R,0<∃δ∈R such that (h∈{k∈X;0<k<δ且つa+k∈nbhd(a,(X,T))})}ならば|f(a+h)-f(a)-g(h)|/|h|<ε]}≠φ
とし、fはaで微分可能であるという
又この時、Bは単集合となり、(df)aと表記し、「fのa∈nbhd(a,(X,T))に於ける微分」という』

というのが微分の定義だと思います。
つまり、微分とは線形写像の事である。
そうしますとy=x^2のx=aでの微分(df)aや
z=x^2+y^3の(x,y)=(a1,a2)での微分(df)(a1,a2)はどのように書けるのでしょうか?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>まちがっいるですか?

あきらかに間違っています．

普通の関数の場合は
( f(a+h)-f(a) )/h -> A (h->0)
なるときにA=f'(a)とかくのですから
これは
| f(a+h)-f(a)- hA )/h | -> 0 (h->0)
のことです．明らかに定義式が異なります．

>一次式の時の微分とはどんな線形写像になるのでしょうか?
用語の使い方がめちゃくちゃです．
私は「一次元」(one dimension)といっています．
すなわち「普通の関数」です．
一次式(one degree)ではありません．

一次式の普通の関数，中学校以来おなじみの一次関数y=ax+bならば
その導関数，今の文脈ならば「微分写像」というべきでしょうが，
は，a です
写像風に書けば x |-> ax です．
明らかにこれは一次元で考える一番簡単な「線型写像」です．
二次式だったら？
y=ax^2+bx+c なので，y' = 2ax+b
よって，x=Aでの「微分」は x |-> (2aA+b)x でしょう．
つまり，(1,1)行列 2aA+b による線型変換．

要は「多変数関数」の「全微分」をいってるだけです．
これを多変数のベクトル値関数にすれば
おのずとJacobi行列で表される線型写像が
求めるものであるのは分かります．
要は「一次(order one)の近似」です．
No.2さんはそういうことをおっしゃってます．

位相空間の用語をわざわざ使って
煩雑にする必要はありません．
はっきりいってしまえば
「アブストラクト・ナンセンス」になるだけです．

繰り返しますが，大学生で数学科の図書室が使えるのであれば
SpivakのDifferential Geometry，分厚くて5冊くらいに分かれてて
大きな本ですが，これの最初の方に
写像的な扱いの微分のことがでてるはずですし，
日本語がよいのであれば，
Spivak，多変数解析学（東京図書）という本にもでています．
この本は 2007/4 に「多変数の解析学」と改題されて
現在も入手可能です．
http://www.tokyo-tosho.co.jp/books/ISBN978-4-489-02004-9.html

どちらも易しくはないですが，教育的な書籍ですし，
後者は学部二年生くらいが対象の教科書です．
＃練習問題も解いて読破できれば，Stokesの定理も
＃多様体の扱いも初歩はマスターできるかも．

お礼

ご回答有難うございます。

だんだん分かってきました。

R^nからRへの写像の集合をMap(R^n,R)そして、R^nからRへの微分可能な写像の集合をDiff(R^n,R)と表す事にすれば
Map(Diff(R^n,R),Map(R^n,R))の元Dは線形写像になる。
つまり、∀f,g∈Diff(R^n,R)に対して
D(f+g)=D(g)+D(f)
cD(f)=D(cf)
となる。そして、Dの像D(f)を導関数と呼び、これは一般的に線形写像にはならない。
更に、D(f)の像(D(f))(a)をD(f)に於けるa∈R^nでの微分係数と言うのですね。

> あきらかに間違っています．
>普通の関数の場合は
> ( f(a+h)-f(a) )/h -> A (h->0)
> なるときにA=f'(a)とかくのですから
> これは
> | f(a+h)-f(a)- hA )/h | -> 0 (h->0)
> のことです．明らかに定義式が異なります．
私が申してたのは導関数の事で
( f(a+h)-f(a) )/h -> A (h->0)
と定義式が書いてある書物もあれば
| f(a+h)-f(a)- hA )/h | -> 0 (h->0)
と書いてある書物もあるのですね。

>要は「多変数関数」の「全微分」をいってるだけです．
>これを多変数のベクトル値関数にすれば
：
>No.2さんはそういうことをおっしゃってます．

y=x^2のx=aでの微分(df)aは
g(h)＝C・h とおくと
|f(a＋h)-f(a)-g(h)|/|h|
＝|(a＋h)^2-a^2-Ch|/|h|
＝|2ah＋h^2-Ch|/|h|
＝|(2a＋h-C)h|/|h|
＝|(2a＋h-C)h/h|
＝|2a＋h-C|
微分可能であるためには
lim[h→0]|2a＋h-C|＝0　　
これは、
lim[h→0](2a＋h)＝C　　を意味するから
C＝lim[h→0](2a＋h)＝2a　
よって、g(h)＝2ahこれを満たすg∈Map(R,R)をy=x^2の導関数、
g(h)をaでの微分係数と言うのですね。

z=x^2+y^3の(x,y)=(a1,a2)での微分(df)(a1,a2)は
∂z/∂x=2x,∂z/∂y=3y^2なので
g(h1,h2)=2a1h1＋3a2^2h2
となるのですね。
これも同様にg(h1,h2)=2a1h1＋3a2^2h2を満たすg∈Map(R^2,R)をz=x^2+y^3の導関数、
g(h1,h2)を(a1,a2)での微分係数と言うのですね

>位相空間の用語をわざわざ使って
>煩雑にする必要はありません．
>はっきりいってしまえば
>「アブストラクト・ナンセンス」になるだけです．
位相空間の教科書に微分の定義が載っていたのでつい気になってしまいました。

>この本は 2007/4 に「多変数の解析学」と改題されて
ご紹介有難うございます。
探してみたいと思います。

回答No.2

hugen

(df)a：R→R；h→2ah
(df)(a1,a2)：R^2→R；(h1,h2)→2a1h1＋3a2^2h2

お礼

有難うございます。

y=x^2のx=aでの微分(df)aは
R∋∀h→((df)a)(h):=2ah

そして、

z=x^2+y^3の(x,y)=(a1,a2)での微分(df)(a1,a2)は
R×R∋∀(h1,h2)→((df)(a1,a2))(h1,h2):=2a1h1＋3a2^2h2

という線形写像の事なのですね。

回答No.1

kabaokaba

とにかく読みにくいです．
無理に記号化する必要はありません．
そもそも「k」なんか用意する必要はないですし
g(h)ではないですし，定義式も違いますよ．
だって，1次元のときに普通の微分と一致しないです．

で，回答は。。。普通に書くだけ．
(df)a なんて書くと微分形式に見えるのでお勧めしませんが
ヤコビ行列とかを勉強しましょう．
「Spivakの教科書」とかにきちんと書かれています．

お礼

有難うございます。

> だって，1次元のときに普通の微分と一致しないです．
> g(h)ではないですし，定義式も違いますよ．
まちがっいるですか?

微分は線形写像の一種ですよね。

うーん、そうしますと、一次式の時の微分とはどんな線形写像になるのでしょうか?