多様体の問題です。

質問

多様体の問題です。

Ｘ，Ｙ：リーマン面
ｆ：Ｘ→Ｙ：正則写像（定値でない）
P：Ｘの点
ｆ（P）＝Q とする。

ｆの座標表示が s = t^n (n∈N)となるP,Qでの局所座標表示

ｔ： U_P → ΔP
s： V_Q → ΔQ

（ΔP,ΔQ：単位開円板）

がある。

つまり、リーマン面からリーマン面への正則写像は
局所的には単位開円板の
ｎ重写像Δ→Δ： z→z^n
と同じ形をしている。

特にｆは開写像。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

これの証明を勉強していて、
分からないところがあって質問させてもらいました。
以下の(*)(**)(***)がその箇所です。

(*)：
仮定のどの部分を使っているのでしょうか？

(**)：
テイラー展開したのですが、
これはT^nの項でくくれといっているのでしょうか？

（***）：
ここはさっぱり分かりません…。
「C内の半平面」というのは
リーマン面Ｙの局所座標近傍Ｃ_zのことですか？

この部分から前に進めなくて唸っているので、
どなたかよろしくお願いします。

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【証明】
P，Qでの局所座標T,Sをとる。
fはＰの近傍で

S=f_T(T), f_T(0)=0

と正則関数表示される。

仮定と正則写像の一致の定理より、
f_T(0)は恒等的に0ではないことが分かる。 (*)

f_T(T)をテイラー級数展開し、
係数が零でない最初の項でくくる。
この操作により、SはTの関数として、

S=f_T(T)=T^n*U(T)、 U(0)≠0 (**)

の形にかける。

『|T|が十分小さければ、
U(T)の値は全てU(0)を含み、0を含まない (***)
Ｃ内の適当な半平面に含まれる。

従って、U(T)のｎ乗根の偏角を一価かつ連続に指定することができる。
こうして、U(T)^(1/n)の１つを正則かつ一価に定めることができる』

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

（定値でない）という仮定
と正則写像の一致の定理より、
f_T(T)は恒等的に0ではないことが分かる。

f_T(T)をテイラー級数展開すると、
(f_T(0)は恒等的に0ではないから)
係数が零でない最初の項がある、
それをT^nの項とする
T^n
でくくると

S=f_T(T)=T^n*U(T)、 U(0)≠0

の形にかける。
U(0)≠0
→
|U(0)|/2>0
→
∃δ>0({U(T)| |T|<δ}⊂{U(T)| |U(T)-U(0)|<|U(0)|/2})
|T|<δ
→
|U(0)|/2<|U(T)|
→U(T)≠0

原点0を通り　線分0→U(0)　に垂直な直線はリーマン面Y(平面)を
(点　U(0)　がある半平面)と
(点 -U(0)　がある半平面)
の2種類の半平面に分ける
「C内の半平面」とは(点　U(0)　がある半平面)の事で
{U(T)| |U(T)-U(0)|<|U(0)|/2}⊂(点　U(0)　がある半平面)
となる