多様体の問題です。

質問

多様体の問題です。

S=｛x∈R^2|∥x∥=1｝
= {z∈C| |z|=1}
U0={e^iθ | 0＜θ＜2π}
U1={e^iθ | ―π＜θ＜π}
ψ0:U0→(0,2π),ψ0(e^iθ) =θ
ψ1:U1→(―π,π),ψ1(e^iθ) =θ
(U0,ψ0),(U1,ψ1) Sの座標近傍
⇒(1)u=｛(U0,ψ0),(U1,ψ1)}:SのC^∞級座標近傍系
(2)v=｛(Ui^±,ψi^±)｝i=1、2
座標変換
ψ1^+・ψ0^-1,ψ0・(ψ1^+)^-1
がC^∞級である事を証明せよ。

ですわかる方いましたらよろしくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「微分多様体」の定義を確認のこと。

逆関数 (ψ0)^-1 と (ψ1)^-1 が、どちらも
C^∞ 級 かつ 各階導関数の値が 0 にならない
ことを言えば十分。