n次元球面はｎ次元位相多様体であることを示せ。

質問

S^n={x∈R^(n+1)│∥x∥=1} はn次元位相多様体となることを示せ。
S^nはn次元球面
R^(n+1)は(n+1)次元数空間

多様体の勉強をしています。「位相空間Mがハウスドルフ空間であり、なおかつMの任意の点pについて、pを含むm次元座標近傍(U,φ)が存在するとき、Mはm次元位相多様体である」という定義はわかっているのですが、証明ができません。

R^(n+1)がハウスドルフ空間であること、ハウスドルフ空間の部分空間もまたハウスドルフ空間であるという知識は既知として使っていただいてかまいません。（はずかしながら、座標近傍の存在を示すプロセスが思いつかないのです。）

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

ん？こぼれる点ありや？
あ，座標の添え字，いっこ足りない(^^;

xをS^nの点とする．
x=(x1,...xn+1)
x1,...,xn+1のすべてが0になることはないので
すくなくともひとつは0ではない．
それをxiとする
xi>0またはxi<0である
つまり，xiはU_i^+かU_i^-の要素である．

絵をかけばわかるとおもう
S^1の場合，
上半分（端点のぞく）
下半分（端点のぞく）
右半分（端点のぞく）
左半分（端点のぞく）
の四枚．

S^2でもほぼ同様．

赤道から少し膨らませると
単純な射影だと同相にはできない．
そうなると座標変換の計算がしんどくなりそう．

なにはともあれ松本先生の本は基礎の基礎としてお勧め．

お礼

アドバイスをありがとうございます。
おかげさまで、

n次元球面の全体が
U_i^+ = {x_1,x_2,・・・,x_n+1 | x_i > 0 } ( i=1,2,・・・,n+1 )
そして
U_i^- = {x_1,x_2,・・・,x_n+1 | x_i < 0 } ( i=1,2,・・・,n+1 )
という、全部で2(n+1)個の開集合によって被覆されることがわかりました。

さらに
φ_i^+ : U_i^+ → R^n を
(x_1,x_2,・・・,x_n+1)　→ （x_1,x_2,・・・,x_i-1,x_i+1,・・・,x_n+1）のように構成して、
φ_i^- : U_i^-　→ R^n を
(x_1,x_2,・・・,x_n+1) → （x_1,x_2,・・・,x_i-1,x_i+1,・・・,x_n+1）のように構成すると、
どちらの写像も開集合から開集合へのマッピングなので、連続性が言えるのですね。
なおかつ球面の半径が１であると指定されているので、これを利用して逆写像も構成できますね。

ゆえに、逆写像が存在し、かつ写像と逆写像の両方が連続なので、φ_i^+ と φ_i^- は同相写像であると言えるのですね。
そういうわけで、n次元球面S^nは2(n+1)個の座標近傍によって被覆されるので、（S^nがハウスドルフ空間であることも合わせて）S^nはn次元多様体であるという解釈をしました。

まだ座標近傍を（回答者さまのように見事に）構成する要領がつかめておりませんので、またご迷惑をおかけすることがあるかもしれませんが、そのときはご助力をお願いいたします。

回答No.2

alice_44

A No.1 の構成だと、被覆されない点ができる。
各地図をも少し広げて赤道を越えるようにするか、
枚数を増やしてこぼれた点を覆うかしないとね。

お礼

補足をありがとうございます。
それにしても、なんだかレトリックが素敵で、はっとさせてくれるような気がします。

回答No.1

kabaokaba

射影すればいい

p_i:S^n -> R^n
(x1,x2,...,xn)|->(x1,x2,...,x_{i-1}, x_{i+1},..,xn)

S^nの座標近傍U_i^{+}, U_i^{-}
U_i^+={xi>0}
U_i^-={xi<0}

わからなかったら，最初はS^1で計算する．
次はS^2，その次はS^3．
S^3くらいまでやれば一般化はできる．

S^1のばあい
四つの座標近傍
U_x^+={(x,y)|x>0, x^2+y^2=1}
U_x^-={(x,y)|x<0, x^2+y^2=1}
U_y^+={(x,y)|y>0, x^2+y^2=1}
U_y^-={(x,y)|y<0, x^2+y^2=1}
をとればいい
p_x^+:U_x^+ -> (-1,1)
(x,y)->x
これの逆写像と座標変換はひたすら計算すればいい

ついでにいうと
東大出版「多様体の基礎」（松本幸夫）
この本はきっとあなたにちょうどいい．