常に一次従属？

質問

「実2次元ベクトル空間において、3つのベクトルx,y,zは常に一次従属であることを示せ。」
という問題が出ました。

自分は
x=(a,b),y=(c,d),z=(e,f)
と置き、
px+qy+rz=0(この0は零ベクトル)　…(1)
が非自明な一次関係を持つことを示そうとしました。
しかし、
(1)⇔ap+cq+ez=O,bp+dq+fz=0
を満たす(p,q,r)の組がわかりません。
どなたかわかる方、教えてください。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

ベクトル空間に基底が存在する場合、
基底は、空間に対して一意的には決まりませんが、
どの基底を選んでも、それに含まれる
基底ベクトルの個数は一定です。
その個数を、空間の「次元」と言います。

ここで「基底」とは、その空間の
極大独立系のこと。すなわち、
空間の部分集合で、一次独立、かつ、
元を追加すると一次独立でなくなる
もののことです。

と、いうことは…
ベクトル空間が２次元であることは、
言葉の定義の中に、
３個以上の元を持つ一次独立な
部分集合が存在しないことを含んでいます。

計算は不要です。

回答No.2

noname#111804

1)⇔ap+cq+ez=O,bp+dq+fz=0
を満たす(p,q,r)の組がわかりません。
=====================================
方程式が2個しかなく、3個の未知数の組(p,q,r)は
求まりません。つまり不定です。つまりどんな値でも
よいことになります。

つまり
ｐ＝ｑ＝ｒ＝０以外が成り立つので一時従属。

回答No.1

arrysthmia

ベクトル空間の「次元」と「基底」の定義を
教科書で確認してください。
質問の命題は、空間が２次元であることの定義に
部品として含まれています。