分かりません・・・

質問

正四面体の各頂点をＡ1、Ａ2、Ａ3、Ａ4とする。ある頂点にいる動点Ｘは、同じ頂点にとどまることなく、１秒ごとに他の３つの頂点に同じ確率で移動する。ＸがＡiにｎ秒後に存在する確率をＰi(n)（n＝0，1，2・・）で表す。Ｐ1(０)＝１／４，Ｐ2(０)＝１／２、Ｐ3(０)＝１／８、Ｐ4＝１／８
とする時、Ｐ1(ｎ)とＰ2(ｎ)（ｎ＝0，1，2・・）を求めよ。
という問題なのですが、何からしたら良いのか分かりません。動点Ｘが１／３の確率で各点に移動するのは分かるのですが・・回答をお願いします・・

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

どの頂点iについても, 任意のnについて
Pi(n)=(1/3){1－Pi(n-1)} (n≧1; i=1,2,3,4)
この2項間漸化式を
初期条件:Ｐ1(０)＝１／４，Ｐ2(０)＝１／２、Ｐ3(０)＝１／８、Ｐ4＝１／８
のもとに解く.

Pi(n)=(-1/3)Pi(n-1)+1/3・・・(A) [＝(-1/3)Pi(n-1)＋(定数) の形より]
これが
Pi(n)-α＝(-1/3){Pi(n-1)-α}
と等比数列の形に変形される条件より, α=1/4

すると(A)⇔ Pi(n)-1/4＝(-1/3){Pi(n-1)-1/4}
数列{Pi(n)-1/4}は 初項Pi(0)-1/4, 公比-1/3 の等比数列であるから
一般項 Pi(n)-1/4＝(-1/3)^n{Pi(0)-1/4}
[ここまでは初期条件の具体形は不要]

これにi=1,2,3,4の場合の初項を順に入れて整理すれば,
P1(n)＝1/4, P2(n)＝(1/4){1+(-1/3)^n}, P3(n)＝P4(n)＝(1/8){2-(-1/3)^n}　(n≧0）
となります. ただしa^0=0です.

[補足]2項間漸化式のかなり基本的問題なので, 参考書等で類題を参照されると良いでしょう. ただし本問では,初項がn=1のときでなくn=0のときなので，(よくある"n-1"乗でなく，n乗になっています．)

お礼

やっと解けました。確かによく考えてみるとアッサリ答えが出ますね。有難うございました。

回答No.2

oshiete_goo

支障なければもう出たものと思います.

どの頂点iについても, 任意のnについて
Pi(n)=(1/3){1－Pi(n-1)} (n≧1; i=1,2,3,4)
ですから, この2項間漸化式を
初期条件:Ｐ1(０)＝１／４，Ｐ2(０)＝１／２、Ｐ3(０)＝１／８、Ｐ4＝１／８
のもとに解けばよいですね.

典型問題ですから, 自力で解いて, もし問題点が生じていたら補足すれば, どなたかの助け舟が出るでしょう.

補足

・・・漸化式を立てるときには初期条件は考えなくて良いということですよね？物分りが悪いので「当たり前」な質問をしていますね・・。すみません(泣)。この問題って簡単なんでしょうか・・・？

回答No.1

kony0

漸化式を組むことになります。
考え方は、時刻ｎで頂点１にいるための条件が
「時刻ｎ－１では頂点１にいないこと」が必要であり、
鍵となるのは、時刻ｎ－１で頂点２，３，４のどこにいるかは関係ないということです。
頂点１以外のどの頂点にいた場合でも、次の時点で頂点１にたどりつく確率はちょうど1/3ずつですね。

と、ここまで特になにも新しいことはいっていないと思いますが、これだけで漸化式が組めます。^^

お礼

漸化式を立てるんですか・・なるほど・・やってみます。回答有難うございました。