点の移動 確率漸化式？

質問

「座標平面上に４点　Ａ(0,1)，Ｂ(0,0)，Ｃ(1,0)，Ｄ(1,1)を頂点とする正方形を考え、この正方形の頂点上を点Ｑが1秒ごとに１つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに点Ｑはｘ軸平行な方向の移動について確率ｐ、ｙ軸と平行な方向の移動について確率１－ｐで移動しているものとする。最初に点Ｑが頂点Ａにいたとするとき、ｎ秒後に頂点Ａ、Ｃにいる確率をA_n、C_nとする。A_n、C_nを求めよ」

確率漸化式の問題だと思い、漸化式をn-1秒後とｎ秒の関係に注目しながら解こうとしているのですが、式がたくさんできてわけがわからなくなりました。

頂点B、Dにいる確率をB_n、D_nとして、
A_n+1＝（1-p）B_n＋ｐD_n
B_n+1＝（1-p）A_n＋ｐC_n
C_n+1＝（1-p）D_n＋ｐB_n
D_n+1＝（1-p）C_n＋ｐA_n
この4式から題意のA_nとC_nを求めることは可能なのでしょうか？なんだかうまくできませんでした。
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

題意からnが奇数の時にはA,Cには点Qはいません。
だから書かれた式は厳密に言うと間違っています。

A_2m+2=(1-p)B_2m+1+pD_2m+1
C_2m+2=(1-p)D_2m+1+pB_2m+1

B_2m+1=(1-p)A_2m+pC_2m
D_2m+1=(1-p)C_2m+pA_2m

また、A_2m+C_2m=1　です。(ほかに行くとこないですから)
よって
A_2m+2=(1-p){(1-p)A_2m+pC_2m}+p{(1-p)C_2m+pA_2m}
={(1-p)^2+p^2}A_2m+2p(1-p)C_2m
=(1-2p+2p^2)A_2m+(2p-2p^2)C_2m
=(1-2p+2p^2)A_2m+(2p-2p^2)(1-A_2m)
=2p(1-p)+(1-4p+4p^2)A_2m
=2p(1-p)+(1-2p)^2*A_2m

A_2m+2-1/2=(1-2p)^2(A_2m-1/2)

n=2mの時
A_n=1/2*(1-2p)^n+1/2

n=2m+1の時
A_n=0

C_nも分かりますね。

と書いていたら#1さんが先に書いてましたね。
しかも、あちらの方がスマートだ。
一応、回答しておきます。答えは一緒ですが。。。

回答No.1

at06

初期条件は A_0 = 1, B_0 = C_0 = D_0 = 0

１つ目の式と３つ目の式を足すと、
A_n+1 + C_n+1 = B_n + D_n
２つ目の式と４つ目の式を足すと、
B_n+1 + D_n+1 = A_n + C_n
∴A_n+2 + C_n+2 = A_n + C_n
奇数秒後にAやCに来る確率は0なので
A_2n + C_2n = 1　…(1)
A_2n-1 + C_2n-1 = 0　…(2)
１つ目の式から３つ目の式を引くと、
A_n+1 - C_n+1 = (1-2p)(B_n - D_n)
２つ目の式から４つ目の式を引くと、
B_n+1 - D_n+1 = (1-2p)(A_n - C_n)
∴A_n+2 - C_n+2 = (A_n - C_n)(1-2p)^2
奇数秒後にAやCに来る確率は0なので
A_2n - C_2n = (1-2p)^(2n)　…(3)
A_2n-1 - C_2n-1 = 0　…(4)

(1)と(3)から
A_2n = 1/2 + 1/2 (1-2p)^(2n)
C_2n = 1/2 - 1/2 (1-2p)^(2n)
(2)と(4)から
A_2n-1 = C_2n-1 = 0