ある問題を解いてほしいのですが・・・

質問

図のように４地点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが４本の道で結ばれている。動点ＸがＡを出発して、それら４地点間を次のルールで行き来するものとする。
a）ＸがＡ，Ｂ，Ｃのいずれかにあれば、次のステップで道の本数に応じて隣の地点に移動する。たとえばＸがＡにあれば、次のステップではＢに移動する。ＸがＢにあれば、確率１/3でＡに、確率2/3でＣに移動する。
b)ＸがひとたびＤに移動してきたら、以後Ｄにとどまり続け、他には移動しない。
ｎステップ後に動点ＸがＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄにある確率をそれぞれAn,Bn,Cn,Dnとする。
（１）Ｂ１,B2,B3,B4を求めよ。
（２）ｎが偶数のときＢｎ＝０であることを示せ。
（３）lim(n→∞）Ｄｎを求めよ。

（図）Ａ－Ｂ=C-D
（BからＣはイコールではなく、２通りの道の意味です。）

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

（１）Ｂ１,B2,B3,B4を求めよ。
＞An=(1/3)Bn-1・・・・・・・(ア)
Bn=An-1+(2/3)Cn-1・・・・(イ)
Cn=(2/3)Bn-1・・・・・・・・・(ウ)
(ア)よりAn-1=(1/3)Bn-2・・・・(エ)
(ウ)よりCn-1=(2/3)Bn-2・・・・(オ)
(エ)(オ)を(イ)に代入、
Bn=(1/3)Bn-2+(2/3)^2Bn-2=(7/9)Bn-2・・・・・・(カ)
Aを出発すれば必ずBに移動するからB1=1
Bを出発すればBには移動しないからB2=0
(カ)にn=3を代入、B3=(7/9)B1=7/9
(カ)にn=4を代入、B4=(7/9)B2=0、よって
B1=1、B2=0、B3=7/9、B4=0・・・答え
（２）ｎが偶数のときＢｎ＝０であることを示せ。
＞mを自然数(0を含まず)としてn=2mとすると
(カ)からB2m=(7/9)B2m-2=(7/9)^2B2m-4
=(7/9)^3B2m-6=・・・・・=(7/9)^(m-1)B2=0
よって、nが偶数のときBn=0・・・証明終わり
（３）lim(n→∞）Ｄｎを求めよ。
＞nが奇数のとき、n=2m-1とすると(カ)から
Bn=B2m-1=(7/9)B2m-3=(7/9)^2B2m-5=(7/9)^3B2m-7
=・・・・・・・・・・=(7/9)^(m-1)B1=(7/9)^{(n-1)/2}
ここでlim(n→∞)(7/9)^{(n-1)/2}=0であり、nが
偶数のときBn=0なので、lim(n→∞)Bn=0となり、
(ア)及び(ウ)からlim(n→∞)An=lim(n→∞)Cn=0となる。
An+Bn+Cn+Dn=1であるから
lim(n→∞)Dn=lim(n→∞){1-(An+Bn+Cn)}=1・・・答え

回答No.1

Tacosan

いや, せめて (1) くらいは自分で解いてもバチは当たらんと思うよ.